7-Применение определителей к системе линейных уравнений.

Рассмотрим кв.систему линейных ур-ний:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n=b₁ (1)

a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n=b_n

det A=а₁₁ а₁₂ а_1n

a_n1 a_n2 a_nn

Теорема 1 (Крамера)

пусть кв. система лин. ур-ний (1) имеет отличный от нуля определитель D (D≠0), тогда сист.(1) является определенной – имеет единственное решение (k₁, k₂, …, k_n) и решение находится по формуле k_j=D_j/D . D_j – определитель, получаемый из определителя D заменой его j-столбца на столбец свободных членов сист.(1).

Теорема 2.

Если система n-линейных однородных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения, то определитель системы D=0.

Доказательство:

Тк столбец свободных членов нулевой, то D1=D2=…=Dn=0, тк каждый такой определитель создает нулевой столбец k_j=D_j/D. Если D≠0, то тогда решение (k₁, k₂, …, k_n)=(0,0,…,0), по т.1(Крамера) решение единственное. Если D=0, система неопределенная и кроме тривиальных решений сущ. ненулевые решения. Система дает необх.условие существования ненулевых решений. D=0  кв.система однород.ур-ний имеет ненулевые решения.

18. Доказать теорему: базис системы векторов есть максимальная линейно независимая часть этой системы.

Пусть a_i1, a_i2, …, a_ir – базис сист.векторов a₁, a₂,…,a_n.

Добавим любой a_j из данной системы. Получим a_i1, a_i2, …, a_ir, _aj. По определению базиса, любой вектор данной сист.векторов разлагается по базису: a_j=k₁a_i1+k₂a_i2+…+k_ra_ir. По теореме 2 (сист.векторов явл.л.з. óесли хотя бы 1 из них явл.лин.комбинацией остальных векторов)=> a_i1, a_i2, …, a_ir, _aj – лин.з.=> a_i1, a_i2, …, a_ir – max л.н.часть.

Билет 10.

Пусть квадр.матрица порядка n- это А.Квадратн.матрица назыв.неособенной(невырожденной),если ее определитель не равен нулю.Если ее определитель равен нулю,то она особенная(вырожденная).Если существует матрица В,такая что АВ=ВА=Е,то В назыв.обратной матр.А(В=).

Теорема:Если матрица невырожденная,то она имеет обратную матрицу и при том единственную.

Д-во: Пусть А= – квадратная. DetA≠0-невырожденный,составим Ã = ,где -алгебраическое дополнение элементов в определителе А. det=1,n.Подчеркнём,что в i-ой строке матрицы Ã стоят алгебраич.дополнения к элементам i-ого столбца DetA.Матрицу Ã наз.присоединенной матрицей А.Умножим все элементы Ã на число =

=

Докажем,что матрица обратная матрица.Составим произв-е * А

= * =

По свойству 3 определителя суммы расположен на главной диагонали * А есть DetA=D по св-ву 5 определителя,все остальные суммы равны нулю.

А*= = Е. Докажем сущ-е :Докажем единственность .Предположим сущ-е еще матр.ЕС,такая что АС=СА=Е.

* АС=*А*С=ЕС=С ; * АС= след. С=

Билет 26.

++…+ - однородная система ур-й (1). АХ=,(2) -матрица коэф-ов системы ; Х-столбец неизвестности

Свойства:1. Если -решение (2), то λ, где λ-число,тоже решение однородн.сис-мы. 2.Если -решение(2),то ()-решение(2). 3.Если …-решение(2),то их линейная комбинация +…+-решение(2).

Применяя теорему(совместная система будет неопределенной,если ранг сис-мы ур-й меньше,чем число неизвестных)к однородн.системе ур-й.Сделаем след.выводы: если r(A)=n,то (2) имеет единств.тривиальное решение. 2)если r(A)<n,то (2) явл. Неопредел.,т.е иметт нетривиал.реш-я.Мы знаем,что всякая сис-ма n-мерных векторов,включ. Более n-векторов будет л.-з. Решениями(2)явл. n-мерные векторы.Поэтому из них можно выбрать конечную максим. Л-н.систему,т.е. такую,что любое решение(2) будет л.комбинацией этих выбран.векторов. Всякая максим.лин-незав.система решений однор.сис-мы ур-ий назыв.её ФСР.Условие сущ-я ФСР устанавливает след.теорема: Если r(A)<n, то ФСР однор.сис-мы(2) суш-ет и состоит из n решений.

№29. Собственные вектора и собственные значения лин-го преобр-я, их отыскание

Ненулевой вектор х(с чертой наверху, далее просто черта) назыв-ся собственным вектором л.п. α (альфа), если оно переводит х(ч) в коллинеарный ему λх(черта):

α (х(черта))= λх(черта) (1)

Число λ в (1) наз-ся собственным значением преобразования α (альфа), соответствующим собственному вектору х(черта). Найдем все собственные векторы:

Пусть:

е₁(четра), е₂(четра),…, е_n(четра) – базис Rⁿ

Система (фигурные скобки): (2)

λх₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n,

λх₂= a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n,

…

λх_n= a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_{n .}

Система (3):

(a₁₁-λ)x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=0,

a₂₁x₁+(a₂₂-λ)x₂+…+a_2nx_n=0,

…

a_n1x₁+a_n2x₂+…+(a_nn-λ)x_n=0.

Однородная система (3) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель = 0.

Определитель (прямые скобки): (4)

a₁₁-λ a₁₂ … a_1n

a₂₁ a₂₂-λ … a_2n = 0

…

a_n1 … a_nn-λ

Многочлен n-ой степени относительно λ в левой части уравнения (4) – характеристический многочлен преобразования α (альфа).

Уравнение (4) – характеристическое уравнение преобразования α (альфа).

Всякому действительному корню λ ₀ ур-я (4) отвечает собственный вектор, который находится путем реш-я совместной системы (3) относительно x₁,x₂,…,x_n после подстановки λ ₀ вместо λ в эту систему.

Замечание:

В матричной форме система (3):

(A- λE)X=θ , где

A - матрица лин. преобр-я α (альфа),

Е – единичная матрица того же порядка, что и А,

Х – вектор-столбец из координат вектора х(черта).

Отыскание:

1)множество собственных значений лин. преобр-я α (х(черта)):

det(A- λE)=0 – характеристическое уравнение

2)Собственные векторы:

(A- λ_iE)X=θ

Вопрос 9. Матричная форма записи системы линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Выпишем матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных в системе (1)

- матрица системы (1)

- матрица-столбец из неизвестных системы (1)

- матрица-столбец из свободных членов системы (1)

AX – существует

АХ имеет m строк и 1 столбец, - это матрица-столбец, элементы которого являются левые части уравнения (1)

АХ=В – матричная форма записи системы линейных уравнений

19 билет. Доказать теорему: каждую линейно независимую часть системы векторов а₁, а₂…а_s можно дополнить до базиса этой системы.

Если данные лин-независимые части не явл-ся базисом данной системы векторов, то она не максимальна, и к ней можно добавить 1 вектор из сис-мы а₁, а₂, … a_n так, что полученная новая часть a_i1, a_i2, … a_is, a_is+1 – Лин. Нез.

Если эта новая часть все еще не максимальна, то к ней можно добавить еще один вектор и т.д.

Процесс расширения Лин. Нез. части после добавления очередного вектора должен закончиться, т.к. к ЛН части а₁…а_s сис-мы векторов а₁,а₂…а_n можно добавлять не более (n-s) векторов.

Следствие. Если в сис-ме векторов есть ненулевой вектор, то она меняет базис.

Док-во. Сис-ма, состоящая из 1 ненулевого вектора, - ЛН: а₁ ≠ Ө, k₁а₁=Ө  k₁=0 => сис-ма из одного ненулевого вектора ЛН => тогда, по осн. теореме 3, ЛН часть системы, состоящую из одного ненулевого вектора можно дополнить до базиса этой сис-мы.

№3 Исследование и решение систем линейных уравнений методом Ж- Гаусса.

Сущность метода Ж- Гаусса заключается в том, что при нахождении конечного числа элементарных преобразований система линейных уравнений преобразуется в эквивалентную- т.е разрешённую систему уравнений или эквивалентную ей несовместную систему. Процесс решений состоит из ряда последовательных этапов расчетов. После выполнения каждого этапа, система линейных уравнений становится разрешаемой относительно какого-либо неизвестного.

Процесс преобразований закончится в след. 2-х случаях:

1)мы придём к системе уравнений, содержащих уравнение вида 0=b, b≠0,тем самым установим несовместность исходной системы(1.2)

2)получим разрешённую систему уравнений ,эквивалентную системе (1.2) , очевидно число уравнений (r) в разрешенной системе ≤m-числа уравнений в системе (1.2) т.к в процессе преобразования мы отбросили уравнение 0=0…..r<n

r-число уравнений в разрешённой системе…. n-число неизвестных

*r=n т.е. система совместная и определённая, система уравнений имеет вид (1.13)

Система (1.13) и равносильная ей (1.2) имеют единственное решение(, ,)- совместная; определённая

*r<n разрешённая система имеет вид (1.14)

В системе (1,14) неизвестные (,) составляют набор разрешённых неизвестных, а остальные неизвестные- называются свободными неизвестными.

Возьмём для свободных неизвестных произвольные числовые значения подставим их в систему (1.14) вместо соответствующих неизвестных, найдём значение для разрешённых (базисных) неизвестных -

-

-

Легко проверить, что набор чисел ( является решением системы (1.14) →равносильной ей системы (1,2) т к свободным неизвестным можно передавать произвольное числовое значение, то таким образом можно найти бесконечное множество решений системы (1,2), в случае r<n система (1.2) является совместной, но неопределённой.

Каждое решение такой системы называется её частным решением, выраженным в базисных и неизвестных через свободные т.е. =-..-

=-...- (1.15)

-..-

Называется общим решением системы (1,2) и (1,14) среди частных решений. Выделим базисные, которые получаются при нулевых значениях всех свободных неизвестных.

Базисное решение

Из всего сказанного можно сделать выводы: система линейных уравнений будет несовместной, если при выполнении этапов преобразования по методу Ж- Гаусса мы получим противоречивое уравнение, если же такого уравнения нет, то система будет совместной.

Совместная система будет определённой, если она приводится к разрешённой системе в которой число уравнений равно числу неизвестных. И неопределённой, если в разрешённой системе число уравнений меньше числа неизвестных.

Следствие1! Если m<n, то система уравнений либо несовместная, либо неопределённая

Доказательство: Если система уравнений (1,2) является совместной, то она является определённой или неопределённой, это зависит от числа разрешённых в уравнении.

r≤ m ≤n, то система (1,2)- неопределённая .

Замечание1.Рассмотрим систему линейных уравнений, в которой свободные члены всех уравнений=0 i=1,m (1.16)

J=1

Такая система (1.16) называется системой линейных однородных уравнений. Эта система всегда совместна т к имеет тривиальное (нулевое) решение.

Для системы (1,16) вопрос стоит в том, определённая она или не определённая. Система (1,16) является определённой, если она имеет только тривиальное решение и неопределённая, если кроме тривиального есть не нулевые.

Следствие2! Если m<n то система помимо нулевого имеет и ненулевое решение.

Замечание2 чтобы записать систему (1,2) нужно знать коэффициенты уравнений и свободные члены. Выписываем их в виде таблицы.

Получим таблицу из чисел, которая содержит m строк и n+1 столбцы. Всякая прямоугольная таблица из чисел называется МАТРИЦЕЙ. Числа, составляющие матрицу,- её Элементы.

Элементы одного n столбца имеют 2 индекса.

Матрица является расширенной матрицей системы (1,2) она получается путём присоединения к матрице из коэффициентов сист (1,2) столбца свободных членов.

Билет 25. Теорема: любая совокупность значений свободных неизвестных определяет однозначно решение системы линейных уравнений

Пусть дана сис-ма ур-й ₁x₁+₂x₂+…+_nx_n = (1)

Док-во. Пусть ₁, ₂…_r образуют базис системы векторов – коэффициентов. Ранг сис-мы равен n, остальные неизвестные будут свободными.

₁х₁+...+_rх_r = - _r+1x_r+1 - … - _nx_n (2)

Зададим свободным неизвестным любые значения: x_r+1=k_r+1, x_r+2=k_r+2, … , x_n=k_n . Подставим эти значения в правую часть (2) вместо неизвестных: = – _r+1k_r+1 - … - _nk_n

Перепишем рав-во (2) в виде: ₁x₁+…+ _rx_r = (3)

Рав-во (3) можно рассматривать как разложение вектора по векторам базиса, коэффициенты кот. x₁=k₁, … , x_r=k_r есть значения базисных неизвестных. Числа k₁, k₂… k_r – значения базисных неизвестных, определяются однозначно => однозначно определяется решение системы уравнений (1): = (k₁, k₂, … , k_r+1, … k_n)

Решение, кот. появляется при нулевых значениях =( ₁, ₂, … , _r, 0 … 0) называется базисным решением.

19 билет. Доказать теорему: каждую линейно независимую часть системы векторов ₁, ₂…_s можно дополнить до базиса этой системы.

Если данные лин-независимые части не явл-ся базисом данной системы векторов, то она не максимальна, и к ней можно добавить 1 вектор из сис-мы ₁, ₂, … _n так, что полученная новая часть _i1, _i2, … _is, _is+1 – Лин. Нез.

Если эта новая часть все еще не максимальна, то к ней можно добавить еще один вектор и т.д.

Процесс расширения Лин. Нез. части после добавления очередного вектора должен закончиться, т.к. к ЛН части ₁…_s сис-мы векторов ₁,₂…_n можно добавлять не более (n-s) векторов.

Следствие. Если в сис-ме векторов есть ненулевой вектор, то она меняет базис.

Док-во. Сис-ма, состоящая из 1 ненулевого вектора, - ЛН: ₁ ≠ Ө, k₁₁=Ө  k₁=0 => сис-ма из одного ненулевого вектора ЛН => тогда, по осн. теореме 3, ЛН часть системы, состоящую из одного ненулевого вектора можно дополнить до базиса этой сис-мы.

Билет №1

(1)

(а) 2 уравнения системы (1) меняются местами

(б) одно уравнение системы (1) умножается на число , отличное от нуля

(в) к уравнению системы (1) прибавляется другое уравнение, умноженное на на число

Теорема об элементарных преобразованиях системы линейных уравнений

При любом элементарном преобразовании системы лин. уравнений получается система уравнений, эквивалентная данной

Доказательство:

очевидно, что при преобразовании (а) получается система, эквивалентная данной

выполним преобразование (б). i-тое уравнение системы (1) умножить на число , отличное от нуля.

- i-тое уравнение системы(2), все остальные уравнения, как в (1)

Пусть ,,…,- решения системы (1), в том числеi-того уравнения системы (1)

подставим эти же числа ,,…,в левую частьi-того уравнения системы (2)

=

Набор ,,…,является решениемi-того уравнения системы (2), а значит и решением системы (2), поскольку все остальные уравнения в (2) такие же как в системе (1). Так как ,,…,-произвольные решения системы (1), то всякое решение системы (1) является решением системы (2)

Заметим, что систему (1) можно получить из системы (2) также при помощи преобразования (б). для этого нужно i-тое уравнение системы (1) умножить на число . В соответствии с доказанным всякое решение системы (2) будет решением (1)

выполним преобразование (в). К i-тому уравнению системы (1) прибавим j-тое уравнение (3) , умноженное на число. Преобразованное в системе (3)j-тое уравнение будет таким

Пусть ,,…,-произвольные решения системы (1), в том числеi-того и j-того уравнения

,

Подставим этот же набор чисел вместо неизвестных в левую часть j-того уравнения (3)

=+=Это означает, что,,…,- есть решениеi-того уравнения системы (3) и всех остальных решений, так как они такие же как как в системе (1).

Билет №11. Решение матричного уравнения AX=B (существование и единственность).

Пусть А - квадр., невырожденная, n-порядка, тогда АХ=В имеет единственное решение, которое находится по формуле (1)

Док-во.

Пусть - решение. Подставимв (1) :. Умножим обе части на:

Следовательно, решение существует и оно единственное.