экзамен вышмат теория 1курс, зимняя сессия, препод. Расторгуев

N-мерные вектора

Упорядоченный набор n действительных чисел – n-мерные числа. А (а1,а2..аn). вект а=в когда их координаты совпадают. Св-во перемест: а+в=в+а, Св-во распределит: Х(а+в)=Ха+Хв.

2 в-ра наз коллинеарными (паралл) если а=Хв – верно для каждой координаты. Коорд в-ра можно записывать по строке или по столбцу. а1/в1=а2/в2=аn/вn. Необходимым, но достаточным условием коллинеарности 2ух в-ров явл пропорциональность одноимённых корд.

Скалярное произведение 2ух в-ров.

Являестя числом, равное сумме попарного произв-ниих координат. а* в=а1*в1+аn*вn. Модулем (длинной) в-р наз кв.корень из скалярного произведения в-ра. Переместит св-во: ав=ва, Распределит св-во: а(с+в)=ас+ав

Угол между 2мя в-рами.

Cos..=a*b/|a||b| - отношение скалярн. Произ-ния в-роа к произв-нию их модулей. Косинус угла между 2мя в-рами – угол альфа, кот = наим углу при решении тригонометр ур-ния.

2 в-ра наз ортогональными если альфа =90º между ними. а┴в а*в=0 . Необходимым условием перпен-ти в-ров явл скал произв равное 0.

2ух и 3ёх-мерные в-ра имеют геом смысл. Скалярным произ-нием наз произ-ние их модулей на Косинус угла

Специфичная с-ма ортогональных в-ров: е1(1, 0,..0) е2(0,1,0...0) еn(0,0…1)

Разложение в-ров с-мы ортогональных: е1=i (1,0,0); e2=j (0,1,0); e3=k(0,0,1)

Трёхмерные в-ра

Пусть задано 3 в-ра в пр-ве – а(а1,а2,а3); в(в1,в2,в3); с(с1,с2,с3). Три в-ра в пространстве наз компланарными, если их можно переместить на одну пл-ть. Необходимым условием компланарности явл их линейная зависимость. k1а+к2в+к3с=0. Если 3 в-ра а,в,с компланарны, то опр-ль 3ьего порядка, элементами которого явл коорд исходных в-ров=0, опр-ль=0. |а1 а2 а3|

|в1 в2 в3| = 0

|с1 с2 с3|

Числовые опр-ли

|а11 а12|

|а21 а22| - опр-ль 2 порядка, который равен а11а22-а21а12

Св-ва: 1) Строим столбци или ряд в определённом эквиваленте. 2) если некоторый ряд=0 или столбец=0, то опр-ль=0

|а11 а12 а13| а11 а12 – опр-ль 3 порядка равен сумме произведений элементов, стоящих

|а 21 а22 а23| а21 а22 на главное диагонали и параллельных это диагонали

|а31 а32 а33| а31 а32 и минус элементы побочной диагонали

=а11а22а33+а12а23а31+а13а21а32 – а31а22а13-а32а23а11-а33а21а12

Деление отрезков в данном соотношении (1) рис

(2)А(х1,у1) В(х2,у2) известны (3)М (х,у) неизвестна

(4)АМ/МВ = λ (5){АМ (х-х1;у-у1), МВ (х2-х; у2-у) (4) =>(5) AM=λМВ. Век-ное соотношение верно для любых координат в-ров. (6) {х-х1=λ(х2-х); у-у1=λ(у2-у)

(6)=>(7) {х= х1+λх2/1+λ; у=у1+λу2/1+λ

Аналитич Геометрия

Ур-ние динии на пл-ти и в пр-ве

(1)Ф-я от 2ух переменных на пл-ти F(x,y)=0 ; (2)F(x,y,z)=0 – в пр-ве

(3)Опр-е: Соотношение (1) – Ур-ние некоторой линии на пл-ти, если этому Ур-нию удовлетворяет любая т М, лежащая на линии и не удовлетворяют все т, не лежащие на этой линии. (4) любая М(х,у,z)

(5) Для того, чтобы найти Ур-ние линии:

А) точки (2) и (4) наз текущими т линии; х,у,z – текущие координаты. Пусть линия на пл-ти в пр-ве представлена в виде общих геом законов. Чтобы найти ур-ние этой линии нужно: взять любую т М

Б) Записать в ур-ние (аналитич выражение) все общие законы образования линии.

В) В соотн Б) выразим известные параметры через х,у,z и известные параметры, затем упростим и получим ур-ние линии на пл-ти или в пр-ве.

{F(х,у)=0; F (х,у,z)=0

Написать ур-ние геом. Месса точек, равноудалённых от данной точки на пл-ти на данное расстояние. (6) С (а,в) , (7)R – расстояние. (8)

(9)А)ЛюбМ(х,у)приндалL (10)Б)|СМ|=R (11)В)√(х-а)² + (у-в)² =R

(12) (х-а)² + (у-в)² = R² - Ур-ние окр-ти на пл-ти

(13) ЛюбМ(х,у,z) (14) √(х-а)² + (у-в)² + (z-d)² =R

(15) (х-а)² + (у-в)² +(z-d)² =R² - Ур-ние шаровой пов-ти в пр-ве.

Канонические Ур-ния прямой на пл-ти и в пр-ве

(1) рис (2)М₀ (х₀,у₀) принадл L (3) L||a(m,n). В-р а – нарпавляющ в-р прямой.

Написать Ур-ние линии L: (4)любМ(х,у)прин L (5) М₀M(x- х₀;y-у₀) прин L

Если L||а (3)=>⁽⁵⁾(6) М₀M||а => (x- х₀)/m =(y-у₀)/n –каноническ Ур-ние прямой на пл-ти

Всё то же самое верно для Ур-ния прямой в пр-ве. (8) М₀(х₀,у_0,z₀)прин L, (9)а(m,n,p)

(10) М₀M(x- х₀;y-у_0, z-z₀)||a =>(11)(x- х₀)/m =(y-у₀)/n=(z-z₀)/p. Соотношение (11) содержит 3 уравнения – канонич. Ур-ния прямой в пр-ве. (7)=>(12) (x- х₀)/m =(y-у₀)/n=t

(13) {x=mt+ х₀; y=nt+ у₀  L – параметрическое задание прямой на пл-ти

(11)=>(14){x=mt+ х₀; y=nt+ у₀; z=pt+ z_{0 –} параметрич задание прям в пр-ве

Ур-ния прямой на пл-ти, проход. Через 2 т

(1)М₁(х₁,у₁) прнн L ;M₂ (х₂,у₂) прин L. Написать Ур-ние прямой, проход через 2 т.

(2) М₁M₂(х₂- х_1; у₂- у₁) прин L Если в-р прин прямой, то его можно рассм как направляющий в-р прямой. (3)а= М₁M₂ ||L  наравл в-р прямой (4) М₁ прин L

(5) (x-x₁)/(х₂- х₁)=(у-у₁)/(у₂- у₁) – направление прямой, проход через 2 т. (6)рис

(7) А(а,0)принL, B(0,в)принL а,в–отрезки, отсекаемые от прямой от соотв осей координат

(8)векАВ(0-а, в-0) (9) (х-а)/(0-а)=(у-0)/(в-0) (10) х/-а + 1=у/в (11) ) х/а+ у/в=1 – Ур-ние прямой в отрезках, его удобно использовать для геом Ур-ний прямой.

Ур-ние прямой с угловыми коэфф на пл-ти

(1)рис(2) М₀(х₀,у₀)принL;(3)а(m,n)||L; в-ра свободные, т е их можно поместить в люб т пл-ти. (4)tg=m/n=k Прямая L образует угол альфа, Угловой коэф прямой.(2),(3)=>(5) (x- х₀)/m =(y-у₀)/n (6) y-у₀=n/m(x- х₀)=>(7) y-у₀=R(x- х₀) – Ур-ние на пл-ти с угл коэф. Если направляющая разная, то соотн(7)представл собой Ур-ние лучи к прямым.

Уравнение прямой на пл-типроходящ через задан точку ┴ данному вектору (1) рис вектор ┴ к прямой назыв нормальным вектором к это пр (2) M0(x0;y0) ∈ l (3) N(a;B)┴l (4) ∀ M (x;y) ∈l (5) M0M(x-x0;y-y0) ∈l из (3) след (6) на осн (5) N(A;B) ┴M0M  (7) N*M0M=0 (8) A(x-x0)+B(y-y0) =0 уравнен прям, проход через M0 и ┴N (9) Ax+By-Ax0-By0=0 (10) C=-Ax0-By0 (11) Ax+By+c=0 общее ур-ние прям на пл-ти (11) что Аи В являются координ нормальн вектора

Угол между прямыми на пл-ти- (1) рис I(2) l₁ x-x1/m1=y-y1/n1, l2 x-x2/m2=y-y2/n2 (3)α=l1^l2=a1^a2 cosα=a1*a2/|a1|*|a2|=m1m2+n1n2/√m1^2+n1^2 *√m2^2+n2^2 II пусть прямые заданы в общем виде (4) l₁  A1x+B1y+C1=0 N1(A1;B1)┴l1(5)l2A2x+B2y+C2=0 N2(A2;B2)┴l2 (6) α=l1^l2=N1^n2 (7) cosα=N1*N2/|N1|*|N2|=A1A2+B1B2/√A1^2+B1^2*√A2^2+B2^2 если прям заданы через углов кэфф то угол α можно найти по формуле (8) tgα=k2-k1/1+k1k2

Расст от данной точки пл-ти до данной пр. (1) l→Ax+By+C=0 (2) N(A;B)┴l (3) M0(x0;y0) не ∈l (4) M1(x1;y1) ∈l (5) рис (6) рис(7) cosα =|OC|/|вект a|(8) OC=пр_ba (проэкц век а на век в) (9) a*b=}|a|*|b|*cosα=|ОС|/|а|=а*в/|а|*|в|= пр_ba/ а=а*в/|a|*|в| (10) cosα= a*b/|a|*|b| (11) пр _ba=ab/|a|*|b| (12) d=пр_NM1M0 (13)d=N*M1M0/|N| (14) M1M0 (x0-x1;y0-y1)=A(x0-x1)+B(y0-Y1)/|n|=Ax0+By0-Ax1+By1/|n| (15)M1∈l→Ax1+By1+c=0(16) C=-(Ax1+By1). D=Ax0+By0+C/√A^2+B^2

Расст от точки прост до пл-ти (1) M0(x0;y0;z0) (2) π→Ax+By+Cz+D=0 (3) N(A;B;C)┴ π(5) рис (6) d=Ax0+By0+Cz0+D/√A^2+B^2+C^2

Схема определения поверхности в простве: 1 берем точку М(x;y;z) котор принадл повехти в прост 2 общие геомет св-ва повти записываем аналит выраж 3 аналитич соотнош расписыв через xyz и ивестн параметр, затем упростив получим ур-ие пов-ти в прост. Уравн пол-ти в прост, проход через точку ┴ данн вектору. (1) ∀ M0(x0;y0;z0) ∈ π (2) N(A;B;C) N нормальн вектор пл-ти. Пл-ть- геометр место точек в прост проходящ через М0 и ┴ N (3) рис (4) ∀ M0(x0;y0;z0) (5) M0M(x-x0;y-y0;z-z0) (6) M0M ┴ N (7) N*M0M=0 (8) A(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 (9) ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0 (10) D=-( Ax0+By0+Cz0) (11) Ax+By+Cz+D=0- общее уравнен пол-ти

Уравнение плоскости в отрезках (1) рис (2) {M1(a;0;0) M2(0;b;0) M3(0;0;c) ∈ π (3) Ax+By+Cz+D=0 → π из 3 на осн 2-(4) { Aa+D=0, Bb+D=0, Cc+D=0 →(5) {a=-D/A, b=-D/B, c = -D/C (6) x/-D/a+y/-D/B+z/-D/C=1 (7) x/a+y/b+z/c=1 уравнение плоскости в отрезках. а, в, с- отрезки. Отсекаем плоскостью от осей координ.

Угол между плоскостями пусть задано две плоскости своими общими уравнениями (1) { π1→A1x+B1y+C1z+D1=0, π2→ A2x+B2y+C2z+D2=0 (2) N1 (A1;B1;C1) N2(A2;B2;C2) (3) рис (4) угол между плоскост –двугран угол лин угл. α= N1^N2 (5) cos α = N1*N2/|N1|*|N2| = A1A2+B1B2+C1C2/ √A1^2+B1^2+C1^2 * √A2^2+B2^2+C2^2 – угол между двумя плоскост

Условия || и ┴двух плоскостей- π1|| π2→N1||N2→A1/A2=B1/B2=C1/C2 . π1┴ π2 →N1┴N2→A1A2+B1B2+C1C2=0

Общее уравнение прямой в пространстве – прямую в пространсте можно задать как пересеч двух плоскостей. { π1→A1x+B1y+C1z+D1=0, π2→ A2x+B2y+C2z+D2=0 (2) рис разрешим (1) относительно х, у через z и D (3) x=m1z+x0, y=m2z+y0 соотнош 3 – уравнен прямой в проэкциях. Если разрешить относит z поучаем канонич урав прям в прост x-a/m=y-b/n=z-c/p , через две точки: x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1

Кривые второго порядка (1) F(x,y,x^2,y^2,a,b,c)=0 –уравнен определяет кривые второго порядка на плоск. Для определ этих уравн использ 1 берем люб точку. Принадлеж линии. 2 записыв аналит выраж общие геометрич св-ва линии 3 расписываем через х;у и известные параметры соотнош 2 и упрощаем.

Окружность-геометрич место точек, d от которых до данной точки плоскости является постоянным числом. (1) С(a;b) (2) R (3) рис (4)∀ M(x;y) ∈l (5) |CM|=R (6) √(x-a)^2 + (y-b)^2 = R (7) (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2

Эллипс –геометрич место точек, сумма расст от котор до двух заранее зад точек есть величина постоянная. (1) |F1F2|=2C (2) |Mf1|+|MF2|=2a→ const (3) 2a>2c,a>c (4) рис(5) F1(C;0) F2(-c;0) (6)∀М(x;y)∈l (7)r1+r2=2a →const (8) √(x-c)²+y² +√(x+c)²+y²=2a (10) a^2-c^2=b^2 (11) x²/a²+y²/b²=1 каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситетом назыв с/а<1 {r1=a-Ex,r2=a+Ex где х координ М

Гипербола- геометрич место точек полоскости, разность расст по модулю от которых до двух заданных точек плоскости есть величина постоянная. Точки F₁ и F₂ называются фокусами как эллипса так и гиперболы (1)|r₂-r₁|=2a/ (2) {2c>2a ,c>a (3) |F₂M-F₁M|=2a проводя арифм преобразов в соотнош (3) и делая замену из(1) получаем канонич уравнение гиперболы. (6)x²/a²-y²/b²=1 (7)b²+a²=c² (8)эксцентриситетом назыв c/a>1 (9){_r1=|Ԑx-a|, r₂=|Ԑx+a| а-вещественная полуось, в- мнимая полуось, с – полуфокусное расст. Прямая l называется асимптотой для кривой F если расст между точкой принадлеж кривой d стремится к 0 тогда точкаМ стремится к ∞ ставаясь принадл кривой

Парабола- геометр место точек, расст от которых до данной точки и данной прямой равны. Точка-фокус, прямая-директриса. (2) |FM|=|BM| (3) F(-p/2; y )- фокус (4)l→ x=-p/2 директриса (5) B(-p/2;y). из 2 на осн 5,3 → (6) √(x-p/2)² + y² =√(x+p/2) ². (7) x²-px+p²/4 +y²=x² + px+p²/4/ (8) y²=2px- канонич уравн параболы, проходящ через начало координат и симметрич оси ОХ. Р-фокусное расст. (10) x²=2py- парабола симметрич относит оси oy(т.к. у в первой степени)

Мат анализ

Действительные числа – числа, которые можно представить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Св-ва: 1)упорядоченность, 2)всюду плотность. Модуль числа – х по модулю + или - или=0 (1) |x|={x при х=0; -х<0 (2)|x+*/y|=|x|+*/|y| (3) |х|≥х

Переменная в-на – если в процессе своего изменения величина принимает разные значения. Непрерыная переменная в-на - количественная переменная, к-рая постоянно возрастает в своем значении с непрерывным рядом (серией) градаций возможных величин.Дискретная в-на – если между значением и действит переменой в-ны указать др значения.

Опр-ния ф-ций

Рассматриваем 2 действит в-ны х и у. Если по некоторому закону или правилу х поставлено только одно значение у, то у задана зависящей от х. Множество значений х – область опр-ния ф-ции; множество знач у – область изменения. Способы: 1) графич 2)табличный, 3)аналитический(выражение) (1)у=f(x)=γ(x) (2)F(x,y)=0 (3)ф-я f(x) явл возрастающей на (а,в), если х₂ > x₁ => f(x₂)>f(x₁) (4) x₁ прин (а,в); x₂ прин (а,в) (5)Ф-я убывает если f(x₂)≥f(x₁) (6)Возраст и убыв ф-ции наз монотонными. (7) Если найдётся число довольно большое, чтоб |f(x)|<M, (8)люб х принадл ОДЗ.

Периодическая ф-я у=f(x+λ)=f(λ) (9)Ф-я чётная: f(-x)=f(x) (10)Ф-я нечётная: f(-x)=-f(x). Чётн и нечётн ф-ции имеют график: нечётн симм отн оси координат.

Предел числовой последовательности

Действит переменной в-ной наз числовая последовательность, если каждому значению переменной величины поставлен в соответствие натуральный ряд чисел (1)х_n (2) 1;1,5;2/3, ¾, 4/5  n/(n+1), (3) n=0,+1,+2 (4)Числовая послед-ть явл порядком премен в-ны, т.к можно указать предыдущ и послед значения. Опр-е: (5)люб Е>0 (6)cущ N = f(E) (7)n>N => (8) |х_n-a|<E (9)lim[n∞] (х_n)=a (10)lim[n∞] (1/n+1)=1. (11)Люб Е>0

(12)|n/(n+1) -1|=|(n+1-1)/(n+1)|=|1-(1/n+1)-1|=|-1/n+1|=1/(n+1)<E (13)1/E<n+1 (14)W[1/E-1]

Предел ф-ции

(1)lim[xa] (f(x))=b (2)любЕ>0 (3)cущ δ =fi(E) (4)|x-a|< δ (5)|f(x)- в|<E Соотн(1)[xa] с любой стороны. Если х>а и стремится к а, то это стремление справа. {[xa+0]; x<0[xa-0] – односторонние пределы.

Бесконечно малая переменная

Опр-ние: Такая ф-я при [xa], если её предел=0 при [xa] (6) α (х)бм(беск малая) (7)lim[xa] (α(х))=0 (8)любаяE>0 (9)cущ δ=fi(E) (10)|x-a|< δ=>(11) |α |x||<E

Теоремы 1)Алгебраич сумма бм есть переменная бм (12)α₁(х), α₂(х) бм (13)(α₁(х)±α₂(х)->бм 2)Конечная произв-ная от бм-бм (13) α₁(х), α₂(х) бм (15) с*α₁(х) бм

Бесконечно большие

В-на обратная бм. Бб при [xa] наз такая переменная ß(х), когда предел – беск-ть. (1)lim[xa] (ß(х))=∞ (2)cущМ>>1, (3)сущ δ=fi(M) (4) |x-a|<δ=>| ß(х)|>M

Т о пределах ф-ции: 1)Если ф-я в точке имеет предел, то этот предел единственен. 2)U(a) – окрестность т А (1)lim[xa] (y(x))=b (2)U(a) (3)x∈U(a) (4)y(x)=b+ α (х)б.м

3)Если имеется предел, то ф-я явл ограниченной в окр-ти т А 4)Монотонно возрастающая ф-я и ограниченная сверху имеет предел 5)Монотонно убывающая ф-я, ограниченная снизу имеет предел. 6)Алгебраич сумма ф-ций, имеющих предел, сама имеет предел=пределу соответствующей ф-ции. (5){lim[xa] (y₁(x))=в₁; lim[xa] (y₂(x))=в₂ (6)Предел от суммы 2ух ф-ций lim[xa] (y₁(x)± y₂(x))=lim[xa](y₁(x))± lim[xa] (y₂(x))= в₁ ± в₂ (7) Предел от произведения lim[xa] (y₁(x)*y₂(x))= в₁*в₂ Предел от частного 2ух ф-ций (8) lim[xa] (y₁(x)/y₂(x))= lim[xa] (y₁(x))/lim[xa] (y₂(x))= в₁/в₂ (9)в≠0 (7)=>(10)lim[xa] (c,y₁(x))=cв₁

Теорема о 2ух бандитах

Если 2 бандита хотят тебя убить, один впереди идёт, другой сзади. Если они идут в подвал, то и ты пойдёшь в подвал, потому что ты между ними. (1){lim[xa] (y₁(x))=в; lim[xa] (y₂(x))=в (2) y₁(x)≤у(х)≤ y₂(x) (3)сущ lim[xa] (y(x))=в (4)люб E>0 (5)люб δ=fi(E) (6)|x-a|< δ=> (7)|y₁-в|<E=>-E≤ y₁-в≤E (8)|y₂ –в|<E (7)=>(9)в-Е≤ y₁(x) (8)=>(10) y₂≤в+Е (2)=>^(9)(10)(11)в-Е≤ y₁(x)≤у(х)≤ y₂(x)≤в+Е (12)|у(х)-в|<Еλ

Непрерывная ф-я

Опр-е: у(х) непрерывна в т х_0, если ф-я определена в этой точке или окрестности и существует предел, кот равен значению ф-ии в этой точке. Предел и ф-я перестановочны. х₀ прин ОДЗ (1)lim [x х₀](у(х))=у(х₀) (2) lim [x х₀](у(х))=у(lim[x х₀] (x))=y(х₀) Опр-ние:Если ф-я непрерывна на нек интервале, она непрерывная на этом интервале 1)Алгебраич сумма непрерывных ф-ций – непрерывна 2)Суперпозиция непрерывной ф-ии есть ф-я непрерывная.

Первый замечательный предел 0/0

(1)lim[x0] Sinx/x=1 (2)OA=1 A^B=x; BC=Sinx (3)пл тр-кOBC<пл секОВА<плODA (4)Sin/2<x/2<tgx/2 |:Sinx (5)1<Sinx\x>Cosx Переходим к пределу x0 (7)1=lim[x0](1)>lim [x0](Sinx/x)>lim [x0] Cosx=1 (8) lim [x0](Sinx\x)=1 – 1ый зам предел

Пример: lim[x0] (tg3x/2x)=0/0=lim[x0] (Sin3x/3x)⁼¹ * 3x/(2x*Cos3x)=3/2

Второй замечательный предел (1)(1+0)^∞

(2) lim[α0] (1+α)^1/α = e – непервочисло, 2ой зам предел. е≈2,7182 (3)lim [n∞] (1+1/n)ⁿ=e (4)log_ex=lnx (5) рис (6)lim[x0+0]=-∞ Неопределённость вида 1+0 разрешается с помощью 2ого зам предела Пример: lim[x0] (1+2x)^1/3х =lim[α0](1+α)^1/α*2/3 =lim[α0] [(1+α)^1/α]^2/3 =e^2/3 [x0]2x=α [α0] => x= α/2

Приращение ф-ции (1)y=f(x) (2)x₀; Δx-приращение аргумента (3)x= x₀+Δx=>Δx=x-x₀ (4)f(x)-f(x₀)=f(x+x₀)-f(x₀)= Δf(x₀) – приращение ф-ции в т x_0. Если f(x) определена в т x₀ и в ёё окрестности и предел Δf=0, то ф-я – непрерывна в этой точке (5)lim[Δx0] (Δy)=0 (5)=>(6)lim[Δx0] (f(x₀+Δx)–f(x₀))

Ф-я непрерывна в каждой т некоторого множества – ф-я непрерывна на этом множестве

Теорема: Сумма непрерывных ф-ций – непрерывна. Произведение непрерывных ф-ций – непрерывная ф-ция. Частное деление 2ух непр ф-ций – непрерывная ф-я, если ф-я в знаменателе отлична от 0.

Дифференцирование

Производная ф-я

(1)Сущ lim[Δx0] (Δy/Δx)=y’(x₀) f’(x₀) dy(x₀)/αx (2)lim[Δx0] (f(x+x₀)-f(x₀))/Δx=f’(x₀)

Ф-я, имеющая производную в точке наз дифференцируемой в этой точке. Ф-я дифференцируемая на этом множестве – дифференцируема. Теорема:Ф-я дифференцируемая в этой точке наз непрерывной в этой точке.

Механический смысл производной

Расмм. Движущуюся материальную точку. (1)t₀ t Δt=t- t₀ (2)S(t)-путь зависит от времени S(t)-S(t₀)=ΔS (3) ΔS/Δt= Vcр – ср ск-ть движения =>(4)S’=lim[Δt0] ΔS/Δt=lim[Δt0]=Vcр =Vмгн Производная пути по времени – это мгновенная V мат точки – в этом и весь механический смысл производной.

Геометрический смысл произ-ной

(1)рис (2)Mприн f(x) (3)L-> lim[M M₀] (M₀M) (4) M₀ (x₀,y₀) M(x,y) Опр-ние: Касательной к графику ф-ции в точке x₀ наз предельное положение секущей M₀M, когда т M M_0, оставаясь принадлежать графику ф-ции. Не в каждой т сущ касательная. (5) M₀А=Δx=x-x₀ МА=Δу=у-у₀ (6) M M₀ => Δx0 (7)tg<ß= Δу/Δx Перейдём к пределу соотн(7) (8)у’(M₀)=lim[Δx0] (Δу/Δx)=lim[Δx0] (tgß)=tg α=k

Опр-ние: Тангенс угла наклона к прямой с + значением по направлению оси Ох – угловой коэфф. y’(x₀)=tg α=k Производная ф-я в точке равна угловому коэфф касательной, проведённой к графику ф-ции в этой точке.

Уравнение графика ф-ции (1) M0(x0;y0) ∈l (2) y-y0=k(x-x0) (3) k=y’(x0) (4) y-y0=y’(x0)(x-x0) касательная . нормаль к графику фции-прямая┴ к графику фции в этой точке. (5) l┴l1 k=-1/k (6) l┴l1  y’(x0) = -1/y’(x0) (7) y-y0=-1/y’(x0) – (x-x0)  l1┴l

Дифференциал ф-ции (1) y’=lim[Δx0] Δy/Δx (2) Δy=y’Δx+α(x) (3) lim[Δ0]α(x)=0 главная часть полного приращ фции назыв дифференциалом этой фции (2)(4) dy=y’Δx (5) y=x (6) dy=dx (7) dy=y’(x)dx (8) Δy=dy+α(x) (9) Δy≈dy (10) Δy=f(x0+Δx)-f(x0) (11) f(x0+Δx)≈f(x0)+f’(x0)* Δx Первая произв от перв произв назыв второй произв. Произв от n^-1 называется производная n-ного порядка

Метод определения n-ной произв. 1 находим первые 3-4 произв. 2 определ закон образ ажд произв. 3 используя этот закон запис произв.

Формулы диффернц

1. (с)^’=0;

2. (cu(x))’=cu’(x);

3. (uv)’=u’v+uv’;

4. (u/v)’=u’v-uv’/v²

5. (y(u(x)))’=y’u*u’x

6. y’(x)=1/x’(y)

7. {x=x(t); y=y(t) y(x) параметрич заданаy’(x)= y’(t)/x’(t)

Если фция задана неявно то: F(x;y)=0 находится обычным способом диффернц, а там где у умнажается на у, по х исп ф-лу (5)

Таблица производной

1. (cosx)’= - sinx;

2. (sinx)’=cosx;

3. (x^n)’=nx^(n-1)

4. (tgx)’=1/cos^2(x)

5. (ctg)’=-1/sin^2(x)

6. (arcsinx)’=1/ √1-x²;

7. (arccosx)’= - 1/ √1-x²;

8. (arctgx)’= 1/1+x²;

9. (arcctgx)’=1/1+x².

10. (a^x)’=a^xlna;

11. (e^x)’=e^x;

12. (lnx)’=1/x.

13. (log_ax)’=1/x*loga;

Теорема Ланграджа (1)y(x) непрерыв на отрез [a;b]. y(x)  дифференц на (a;b) (2) рис (3){A(a;f(a)); B(b;F(b)) (4) BC=f(b)-f(a), AC = b-a из ΔABC (5) tgβ=BC/AC=f(b)-f(a)/b-a

(6) tgβ= f’(c ) (5)(7) на осн (6) f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) –ф-ла лагранджа (8) f(a)=f(b)  (9) 0=f’(c)(b-a) (10) f’(c)=0

1,8, 10 назыв ф-лой роля, показыв что касательн || ОХ

Правило лопиталя: раскрытие неопред 0/0 или ∞/∞ (1) lim[x0] f(x)/ (x) (2) lim[xa] f(x) =0=f(a). Lim[xa] φ(x)=0=fi(a). Lim [xa] f(x)/fi(x) = lim[xa] (f(x)-f(a)/x-a)/(fi(x)-fi(a)/x-a)= (lim[Δx0] Δf/Δx)/(lim[Δx0] Δfi/Δx)=f’(x)/fi’(x)=d (3) {x-a≥Δx; f(x)-f(a)= Δf если неопред не раскрыта, то снова применяем правло лопит

Выпуклость и вогнут графика фции. График фции явл выпукл если все точки гр наход ниже касательн проведен на этом отрез. График явл вогнут если точки граф находятся ниже точки котор меняет характер выпуклости-точка перегиба. Если для всех точек некотор интервала 2ая произв >0 то фция выпуклая. Если 2ая произв <0 то гр фции выпуклый на этом интерв.

Опр-ние экстремума с помощью втор произв. 1 находим крит точки 2 находим знач 2 произв в каждой крит точке. Если 2ая произв в крит точке,0 то следует у(х1) достиг max, если в крит т стор произв >0 то в этой точк достиг мин.

Экстремум ф-ции есть минимум или максимум y(x) в точке х1 достигает максимума если сущ окрестность точки х1 такая что как только х ∈ окрестн следует y(x)≤y(x1). Y(x) в точкех1 достигает миним если сущ окрест точки х2 такая что как только х∈ окрест следуетy(x)≥ y(x2) (1) y(x) , x1  max (2) ceo U(x1), x∈ U(x1) y(x)≤y(x1) (5) x2 min ceo u(x2) , x ∈ U(x2) y(x)≥y(x2) если в некотр точке ф-ция достиг экстремума то произв в этой точке =0 или не сущ. Рис. Опр-ние критич точками ждля фции назыв точ в котор первая произв=0 или не сущ. Св-ва крит точек: 1 если фция достиг экстрем то только в крит точк. 2 не во всех крит т. достиг экстремум. Схема опред экстремума с помощ первой произв (0) y=y(x) (-∞;∞) (1) y’ (2) а) y’=0 x1,x2 б) y’ не сущ  x3, x4 (3)

x	-∞x1		X1	X1x2	X2		X2x3
y’	+		0	-	0		-
y	↑		max	↓	нет		↑
X3		X3x4		X4		X4 ∞
Не сущ		+		∞		-
min		↑		max		↓

Возрастание и убывание фции и ее связь с производной. Опр-е фция y(x) на интервале (a;b) назыв возрастающ если для люб x1 и x2 принадл (а;b) таких чтоx1<x2 следует f(x10<f(x2) и ф-ция назыв неубыв если f(x1)≤ f(x2) теор 1 если на некот интервале y’(x)>0 то ф-ция является возраст (1) F(x2)-f(x1)=f’ (c)*(x2-x1)>0 (2) c∈ [x1;x2] (1)(3) f(x2)>F(x1). Теор 2 если y’(x)<0 на интерв (a;b) то фция убывающ. Теор 3 если на некотр интервале ф-ция возраст то превая произв ≥ 0 док-во : используем теор лагранджа. Найдем f’(c) = f(x2)-f(x1)/(x2-x1)≥0 если на интерв фция убывает то перв производн≤0