20. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:

1. Если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=0, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(0/0)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xx0f'(x)=lim_xx0φ’(x)=0, то lim_xx0f’(x)/φ’(x)=(0/0)=lim_xx0f’’(x)/φ’’(x) при условии, что предел в правой части существует и т.д.

2. Если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=∞, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=∞, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части существует, и т.д.

21. ,

где - остаточный член формулы Тейлора:

22. Фун-ия назыв. возрастающ. (убывающ.) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение фун-ии. Фун-ии возрастающ. и убывающ. назыв. монотонными фун-ям.

23. Экстремум функции

Значение f(x₀) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции y=f(x), если при любом достаточно малом δ выполняется условие f(x₀)>f(x) (f(x₀)<f(x)) ∀x∈(x₀- δ) ∪(x₀+ δ). Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума – точками экстремума.

Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функция y=f(x) имеет в точке x₀ локальный экстремум, то производная f’(x)обращается в 0 или не существует.

Точки, в которых f'(x)=0 или f'(x) не существует, называются критическими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть x₀ – критическая точка функции y=f(x); если при переходе через точку x₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке x₀ имеет локальный максимум (локальный минимум);если же производная f’(x) не меняет знака в δ-окрестности точки x₀, то данная функция не имеет в точке x₀ локального экстремума.

Теорема (второе достаточное условие). Пусть f'(x₀)=0 и f’’(x₀)≠0, тогда функция y=f(x) в точке x₀ имеет экстремум, причем x₀ – точка локального максимума (минимума), если f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)<0).

24. Если в точке M(x₀, f(x₀)) графика функции y=f(x) выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка M(x₀, f(x₀)) называется точкой перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если в точке M(x₀, f(x₀)) график функции y=f(x) имеет точку перегиба, а сама функция имеет непрерывную вторую производную, тогда f''(x) в точке x₀ обращается в 0, т.е. f’’(x₀)=0.

Точки графика функции, в которых вторая производная равна 0 или не существует, называются критическими точками II рода.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в окрестности точки x₀ и пусть в самой точке f''(x₀)=0 или f’’(x₀) не существует. Тогда, если в указанной окрестности f''(x) имеет разные знаки слева и справа от точки x₀, график функции имеет перегиб в точке M(x₀, f(x₀)).

25. Прямая линия L называется асимптотой графика функции y=f(x), если расстояние от точки M(x,y), лежащей на кривой, до прямой L стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Если lim_xaf(x)=+∞ или lim_xaf(x)= - ∞, то прямая x=a является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Если lim_x+∞f(x)=b или lim_x-∞f(x)=b, то прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x).

Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если существуют одновременно пределы:

k=lim_x+∞f(x)/x, b=lim_x+∞(f(x)-kx)

или

k=lim_x-∞f(x)/x, b=lim_x-∞(f(x)-kx).

26. Схема исследования графиков функции y=f(x):

1. Определить область существования функции;

2. Исследовать функцию на четность и нечетность;

3. Найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат;

4. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер точек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой;

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;

6. Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определить точки перегиба;

7. Построить график функции.

27. Функция z называется однозначной функцией двух переменных х и у, если к каждой паре значений х и у поставлено в соответствии единственное значение z (z=f(x;y) = z=f(M), где M (x;y)). Способы задания : аналитический, графический, табличный. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл. График функции двух переменных изображается в пространстве в виде поверхности, которая определяется уравнением z=f(x;y).

28. δ- окрестность для х – это интервал. Для двух переменных круг.

Пусть задана функция двух переменных M₀ (x;y). Число А называется пределом функции f(M) в точке М0, если для любого ε>0 существует δ=δ(ε) такое, что для x, принадлеж. ρ(ММ0)<δ за исключением М0 выполняется неравенство │f(М)-А│<ε. Предел ф-ции двух переменных в точке сущ тогда и только тогда, если он сущ по любому направлению и при этом все пределы равны.

29.Повторные пределы: lim _x→x0 lim _y→y0 f(x,y) lim _y→y0 lim _x→x0 f(x,y)

Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.

30.Функция f(x,y) – непрерывна в М0, если для любого ε>0 существует δ=δ(ε) такое, что для всех xєρ(ММ0)<δ выполняется условие │f(M) – f(M0)│<ε. lim _M→M0 f(M)=f(M0).

31. Частной производной от функции z=f(x, y) по независимой переменной x называется конечный предел

lim_∆x→0 f(x+∆x, y)-f(x, y)/∆x=lim_∆x→0 ∆z_x/∆x=∂z/∂x=f’_x(x, y),

вычисленный при постоянном значении y.

Частной производной по y называется конечный предел

lim_∆y→0 f(x, y+∆y)-f(x, y)/∆y= lim_∆y→0 ∆z_y/∆y=∂z/∂y= f’_y(x, y),

вычисленный при постоянной значении x.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

32. Функция Z(x,y) называется дифференцируемой в точке (х0,у0), если ее полное приращение представлено в виде двух сумм: одна – линейная относительно Δх, Δу; вторая – бесконечно малая величина относительно ρ.

33.Для нахождения производной от нескольких переменных применяют следующую теорему.

Т: Если фун f(U,V), U(x,y), V(x,y) имеют частные производные по своим аргументам, то справедливы следующие формулы:

∂z/∂х=(∂f/∂U)(∂U/∂х)+(∂f/∂V)(∂V/∂x)

∂z/∂y=(∂f/∂U)(∂U/∂y)+(∂f/∂V)(∂V/∂y)     

Доказательство:

34. Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y)

35. Пусть z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y), пусть l⁰=(cosα, cosβ) – единичный вектор, задающий направление прямой L, проходящей через точку M(x, y). Выберем на прямой L точку M₁(x₁, y₁)= M(x, y)+τ*l⁰. Рассмотрим приращение функции ∆z=z(M₁)-z(M)=f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y) в точке M(x, y).

Предел отношения lim_τ→0 f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y)/τ, если он существует, называется производной функции z=f(x, y) в точке M(x, y) по направлению l⁰=(cosα, cosβ) и обозначается ∂z/∂l.

Если функция z=f(x, y) имеет в точке M(x, y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки M(x, y); вычисляется эта производная по формуле ∂z/∂l=∂z/∂x* cosα+∂z/∂y* cosβ, где cosα и cosβ – направляющие косинусы вектора l⁰.

36. Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с началом в точке M₀, координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z/∂x и ∂z/∂y, вычисленным в точке M(x, y).

Градиент обозначается grad z=(∂z/∂x, ∂z/∂y).

Аналогично определяются производная по направлению и градиент для функции трех переменных u=f(x,y,z) в точке M(x, y, z):

∂u/∂l=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂u/∂z*cosγ;

grad u(M)=( ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z), где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы единичного вектора l⁰. Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u=f(M).

37. Пусть функция z=f(x,y) имеет первые частные производные ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y в точке M(x,y) и в каждой точке некоторой окрестности точки M (x,y). Тогда частные производные от частных производных ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от функции z=f(x,y) в точке M (x,y). Частные производные второго порядка обозначаются

∂/∂x*(∂z/∂x)= ∂²z/∂x²=f’’_xx(M); ∂/∂y*(∂z/∂x)= ∂²z/∂x∂y=f''yx(M);

∂/∂x*(∂z/∂y)= ∂²z/∂x∂y=f''xy(M); ∂/∂y*(∂z/∂y)= ∂²z/∂y²=f''yy(M).

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. ∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x. Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.

38.

39. Если частные производныенепрерывны в т. М(х,у), то функция z =(х, у) дифференцируема в этой точке Аналогично для функциивводится понятие дифференцируемости и полного дифференциала Необходимое условие)Для того, чтобы являлось в некоторой области G полным дифференциалом некоторой функции u=F(x,y), необходимо, чтобы в этой области

(х,у Î G)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть (14.11) - полный дифференциал функции u = F(x,y). Имеем

.

Отсюда в силу единственности дифференциала получим

, .

Дифференцируя первое по у, а второе - по х, будем иметь

, .

Но, так как для непрерывных функций результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования, то получаем (*)

.

С л е д с т в и е. Если условие (*) не выполнено, то выражение (14.4) не является полным дифференциалом.