12.Производная сложной функции.

Если y=f(u), где u=(x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).

13.Производная обратной функции.Пусть фун-ия дифференцируема и строго монотонна на (a;b). Пусть также в точке производная . Тогда в точке определена дифференцируемая фун-ия, котор. называют обратной к , а её производная вычисляется по формуле

14 Производной функции y=f(x) в точке x₀ (обозначается y'(x₀) или f’(x₀)) называется предел отношения приращения функции в этой точке ∆y=f(x₀+∆x)-f(x₀) к приращению аргумента ∆x при ∆x0, если этот предел существует:

y’(x₀)=lim_∆x-->0 f(x₀+∆x) – f(x₀)/ ∆x.

Производные простейших алгебраических и тригонометрических функций.

1. (с)^’=0;

2. (uv)’=u’v+uv’;

3. (u/v)’=u’v-uv’/v²

4. (c/v)’= - cv’/v²;

5. (sinx)’=cosx;

6. (tgx)’=sec²x;

7. (u+v-w)’=u’+v’-w’;

8. (cu)’=cu’;

9. (u/c)’=u’/c;

10. (xⁿ)’=nx^n-1;

11. (cosx)’= - sinx;

12. (ctgx)’= - cosec²x.

Производная сложной функции.

Если y=f(u), где u= (x), т.е. если y зависит от x через посредство промежуточного аргумента u, то y называется сложной функцией от x.

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

dy/dx=dy/du*du/dx, или y’=f’(u)*u’(x).

1. (uⁿ)’=nu^n-1*u’;

2. (sinu)’=cosu*u’;

3. (cosu)’= - sinu*u’;

4. (tgu)’=sec²u*u’;

5. (ctgu)’= - cosec²u*u’.

Производные показательных и логарифмических функций.

1. (a^u)’=a^ulna*u’;

2. (e^u)’=e^uu’;

3. (a^x)’=a^xlna;

4. (e^x)’=e^x;

5. (logu)’=u’/u*loge;

6. (lnu)’=u’/u;

7. (logx)’=1/x*loge;

8. (lnx)’=1/x.

Производные обратных тригонометрических функций.

1. (arcsinu)’=u’/ √1-u²;

2. (arccosu)’= - u’/ √1-u²;

3. (arctgu)’= u’/1+u²;

4. (arcctgu)’=u/1+u²;

5. (arcsinx)’=1/ √1-x²;

6. (arccosx)’= - 1/ √1-x²;

7. (arctgx)’= 1/1+x²;

8. (arcctgx)’=1/1+x².

15. Производной порядка высшего порядка функции y=f(x) называется производная от ее производной, т.е.

Производные второго, третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной фун-ии.

16.Если функция y=f(x) определена и дифференцируема на интервале (a,b) и достигает в точке x₀∈(a,b) своего наибольшего или наименьшего значения, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f’(x₀)=0.

17.Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b) и f(a)=f(b), тогда существует точка x=c ∈(a,b), в которой f'(c)=0.

18.Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема ∀x ∈(a,b), тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что выполняется условие f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

19. Пусть функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны, определены на отрезке [a,b] и дифференцируемы ∀x ∈(a,b). Пусть также g'(x)≠0, тогда существует точка x=c∈(a,b), такая, что для нее выполняется условие f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c).