4. Теоремы о пределах функций

а) фун-ия не может иметь более одного предела:

Предположим противное, т.е. фун-ия имеет f(x) имеет два предела A и D, A≠D. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами фун-ий в соответствии с формулой Вычитая почленно эти равенства, получим . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства бесконечно малых есть величина бесконечно малая => предположения о сущ-ии второго предела неверно.

б) предел алгебраической суммы конечного числа фун-ий равен такой же сумме пределов этих фун-ий, т.е.

в) предел произведения конечного числа фун-ий равен произведению пределов этих фун-ий, т.е.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

г) предел частного 2х фун-ий равен частному пределов этих фун-ий (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е.

д)если

, то предел сложной фун-ии

е) если в некоторой окрестности точки х₀ (или при достаточно больших х) , то

5. Бесконечно большие и бесконечно малые функции

Фун-ия назыв. бесконечно большой при , если для любого, сколь угодно большого положительного числа М>0, найдётся такое положит. число , что для всех х ≠ х₀ и удовлетворяющ. условию , будет верно неравенство

Св-ва:

1) Произведение б.б.величины на фун-ию, предел котор. отличен от нуля, есть величина бесконечно большая

2) Сумма б.б. величины и ограниченной фун-ии есть величина бесконечно большая

3) Частное от деления б.б величины на фун-ию, имеющ. предел, есть величина бесконечно большая

Фун-ия назыв. бесконечно малой величиной при , или при , если её предел равен нулю:

Фун-ия назыв. бесконечно малой при , если для любого, даже сколь угодно малого положит. числа , найдётся такое положит. число , что для всех х ≠ х₀ и удовлетворяющ. условию

Св-ва:

1) Алгебраическая сумма конечного числа б.м.величин есть величина бесконечно малая

2) Произведение б.м.величины на ограниченную фун-ию есть величина бесконечно малая

3) Частное от деления б.м.величины на фун-ию, предел котор. отличен от нуля, есть величина бесконечно мала

6.Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Функция α_n называется бесконечно малой функцией при x→x₀, если ее предел равен 0.

Если α(x) и β(x) – бесконечно малые функции и lim_x→x0 β(x)/α(x)=0, то функция β(x) называется бесконечно малой функцией высшего порядка малости относительно α(x), что записывается в виде β=o(α).

Если lim_x→x0 β(x)/α^k(x)=A (отличное от 0 конечное число), то β(x) называется бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно α(x).

Если lim_x→x0 β(x)/α(x)=1, то β(x) и α(x) называются эквивалентными бесконечно малыми функциями: β(x)~α(x).

, то это бесконечно малые фун-ии одного порядка

7. Первый и второй замечательные пределы

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, называется первым замечательным пределом. Этот предел равен единице.

Предел последовательности

называется вторым замечательным пределом. Этот предел равен числу e: