Выполнение контрольной работы
для варианта опытов: 1, 7, 11, 19, 25
1. Для заданного варианта контрольной работы записывается таблица исходных статистических данных.
Таблица 8.2
u 1 2 3 4 5
Xu 479,7 616,3 722,5 942,9 1095,4
Yu 440,4 557,5 657,9 864,3 1009,2
2. Записывается аналитический вид эконометрической модели
EY(X)
= bo
+ b
X,
(8.1)
где Y - совокупный личный расход населения США; X - личный распологаемый доход населения США.
3. Определяется формула преобразования исходных значений фактора (личного распологаемого дохода населения США) в безразмерные значения.
Для преобразования исходных значений факторов в безразмерные используется формула
X* = 2(X – Xср.)/(Xmax – Xmin), (8.2)
Xср. = (Xmax + Xmin)/2,
где Xmax, Xmin - максимальное и минимальное значения фактора в табл. 8.2, соответственно равные 1095,4 и 479,7.
Получена формула
X* = (X – 787,55)/307,85 (8.3)
4. По формуле (8.3) определяются безразмерные значения фактора и записываются в таблицу 8.3
Таблица 8.3
u 1 2 3 4 5
X*u -1 - 0,56 - 0,21 0,5 +1
Yu 440,4 557,5 657,9 864,3 1009,2
5. Записываются формулы для определения коэффициентов регрессии
b
=
(
-
),
N
= 5,
(8.4)
b
=
(N
-
),
N
= 5,
(8.5)
D
= N
- (
)
,N
= 5
(8.6)
Отметим, что в формулах (8.4) – (8.6) необходимо использовать безразмерные значения факторов.
Предварительно определяются значения:
=
3529,3;
= 2,61;
= 550,59;
= -0,27.
Затем по формуле (8.6) вычисляется значение D = 12,98.
Коэффициенты регрессии равны:
b
=
721,1; b
= 285,5.
Записывается регрессионная модель
Y*(X)= 721,1 + 285,5 X*, (8.7)
X* = (X – 787,55)/307,85, 479,7 X 1095,4
7. Записывается формула для вычисления остаточной дисперсии и производится ее вычисление
=
(
721,1 + 285,5 Xu
– Yu)
(8.8)
Последовательность вычисления остаточной дисперсии производится в соответствии с таблицей 8.4
Таблица 8.4
u
X*u
Yu
Y*u
(Yu
– Y*u)
(Yu
– Y*u)
1 -1 440,4 435,6 4,8 23,04
2 -0,56 557,2 561,5 -3,72 13,84
3 -0,21 657,9 661,15 -3,25 10,56
4 0,5 864,3 863,85 0,45 0,2
5 1 1009,2 1006,6 2,6 6,76
Значение остаточной дисперсии равно 18,1.
Определяются формулы для вычисления дисперсий коэффицентов регрессии и производится их вычисление.
В формулы
{b
}
=
/{N
– [(
)
/
]}
(7.16)
{b
}
=
/
{
- [(
)
/N]}
(7.17)
подставляются остаточная дисперсия и ранее найденные значения сумм.
{b
}
= 18,1/{5 –
[0,063/2,61]} = 3,66
{b
}
= 18,1/{2,61 –
[0,063/5]} = 7
Производится оценка точности коэффициентов регрессии при 0,05 уровне значимости.
Определяются нулевые гипотезы
Ho:
b
= 0, Ho:
b
=
0
(8.9)
при альтернативных гипотезах
H
:
b
0 H
:
b
0
(8.10)
Производится проверка гипотез с помощью t – распределения Стьюдента. Определяются расчетные значения t – критерия
t*{
b
}
= b
/
{
b
}
= 721,1/1,92 = 376
t*{b
}
= b
/
{b
}
= 285,5/ 2,65 =
107,3
Расчетные
значение сравнивается с табличным
значением
при
числе свободы n = 3 и доверительном уровне (обычно 0.95). Найденное табличное значение равно 3,182.
При условии
t*
>
(8.11)
нулевые гипотезы отвергаются и коэффициенты регрессии признаются значимыми.
Определяется формула для вычисления дисперсии регрессионного значения экономического показателя при различных значениях фактора.
С этой целью используется формула
{
Y*
(X)}=
(
-2X
+ N
)/
[N
- (
)
]
(7.22)
Xmin X Xmax
Подставляются значения остаточной дисперсии, числа опытов и ранее найденные значения сумм. После арифметических преобразований находится формула для определения дисперсии регрессионного значения экономического показателя
{
Y* (X)}= 3,7 +0,77 X* + 7,1
(8.12)
X* = (X – 787,55)/307,85, 479,7 X 1095,4.
Определяется формула доверительного интервала истинных значений экономического показателя при 0,05 уровне значимости. Определяются минимальное и максимальное значения доверительного интервала.
Для определения формулы доверительного интервала используется формула
[Y*
(X)
-
S{
Y*
(X)};
Y*
(X)
+
S{
Y*
(X)}],
(7.23)
Xmin X Xmax
Табличное
значение
определяется
при доверительном уровне
(обычно 0.95) и числе свободы n.
Значение Y*
(X)
определяется
по формуле (7.2). Значение S{Y*
(X)}
определяется
по формуле (7.22). Число степеней свободы
равно
n = N – 2 = 5 – 2 = 3.
Табличное значение t – критерия равно 3,182.
Используя ранее полученные формулы для определения регрессионного значения показателя (8.7) и дисперсии регрессионного значения показателя, определим формулу доверительных интервалов
{(721,1
+ 285,5 X*)
– 3,182(3,7 +0,77 X*
+ 7,1
)
;
(721,1
+ 285,5 X*)
+ 3,182(3,7 +0,77 X*
+ 7,1
)
},
(8.13)
X* = (X – 787,55) / 307,85, 479,7 X 1095,4
Верхние граничные значения доверительного интервала определяются по формуле
Y*(X)верх.
= Y*(X)
+
S{Y*(X)}
=
=
(721,1 + 285,5 X*)
+ 3,182(3,7 +0,77 X*
+ 7,1
)
,
(8.14)
X* = (X – 787,55) / 307,85, 479,7 X 1095,4
Нижние граничные значения доверительного интервала определяются по формуле
Y*(X)нижн.
= Y*(X)
-
S{Y*(X)}
=
=
(721,1 + 285,5 X*)
- 3,182(3,7 +0,77 X*
+ 7,1
)
,
(8.15)
X* = (X – 787,55) / 307,85, 479,7 X 1095,4
Величина доверительного интервала от значений фактора имеет квадратичную экстремальную зависимость и определяется по формуле
Y*(X*)=
6,364(3,7 +0,77 X*
+ 7,1
)
,
(8.16)
X* = (X – 787,55)/307,85, 479,7 X 1095,4
Максимальное значение доверительного интервала достигается при максимальном значении фактора и равно
Y*(X*)max=
Y*(X*)=6,364(3,7+0,77+7,1)
=6,3643,4=21,6
(8.17)
-1 X* +1
Минимальное значение интервала достигается почти при среднем значении фактора и равно
Y*(X*)min
=
Y*(X*)
= 6,364(3,7)
=
6,3641,93=
12,28 (8.18)
-1 X* +1