Оценка точности регрессионных моделей
Оценка точности НЛРМ производится по величине остаточной дисперсии, определяемой по формуле
=
(
b
+ b
Xu
– Yu)
,
(7.15)
где
N
– число
опытов в таблице 1; b
,
b
- коэффициенты
регрессии, определяемые по формулам
(7.9) – (7.11); Xu,
Yu
– значения
фактора и показателя в различных опытах.
Оценка точности коэффициентов регрессии и проверка гипотез об их значимости
Знание остаточной дисперсии позволяет определить дисперсии коэффициентов регрессии по формулам:
{b
}
=
/{N
– [(
)
/
]}
(7.16)
{b
}
=
/
{
- [(
)
/N]}
(7.17)
Ранее
указывалось, что абсолютное значение
коэффициента регрессии
b
может быть близким нулю. В этом случае
необходимо произвести проверку гипотезы
о равенстве нулю данного КР.
Математическая постановка и решение данной задачи записывается следующим образом:
Определяется нулевая гипотеза
Ho:
b
=
0
(7.18)
при альтернативной гипотезе
H
:
b
0
(7.19)
Производится проверка гипотезы (7.18) с помощью t – распределения Стьюдента. Определяется расчетное значение t – критерия
t*
= b
/
{b
}
(7.20)
Значение (7.20) сравнивается с табличным значением
при
числе свободы n = N – 2 и доверительном уровне (обычно 0.95).
При
t*
>
(7.21)
гипотеза (7.18) отвергается и принимается гипотеза (7.19).
Аналогичным образом производится проверка значимости других КР. Отметим, что в случае принятия нулевой гипотезы соответствующий коэффициент регрессии приравнивается нулю (признается незначимым) и соответствующая степенная функция исключается из модели. Затем производится уточнение остальных (значимых) КР, остаточной дисперсии и дисперсий коэффициентов регрессии.
Оценка точности регрессионных значений экономического показателя при различных значениях фактора
Завершающим этапом построения эконометрической модели является получение формулы для определения дисперсии регрессионого значения экономического показателя при различных значениях фактора
{
Y*
(X)}=
(
-2X
+ N
)/
[N
- (
)
]
(7.22)
Xmin X Xmax
Значения Xmin, Xmax определяются по формулам (7.4), (7.5).
Формула (7.22) используется для построения двухсторонних доверительных интервалов регрессионных значений экономического показателя
[Y*
(X)
-
S{
Y*
(X)};
Y*
(X)
+
S{
Y*
(X)}]
(7.23)
Xmin X Xmax
Табличное
значение
определяется
при доверительном уровне
(обычно 0.95). Значение Y*
(X)
определяется
по формуле (7.2). Значение
S{Y* (X)} определяется по формуле (7.22).
Назначение доверительных интервалов, определяемых по формуле (7.23), состоит в оценке области значений экономического показателя, в которой находится истинная экономическая зависимость.
Построение доверительного интервала производится с помощью формул, описывающих зависимости верхних и нижних граничных значений от значений фактора.
Верхние граничные значения доверительного интервала определяются по формуле
Y*(X)верх.
= Y*
(X)
+
S{Y*(X)},
(7.24)
Xmin X Xmax
Нижние граничные значения доверительного интервала определяются по формуле
Y*(X)нижн.
= Y*
(X)
-
S{Y*(X)},
(7.25)
Xmin X Xmax
Разность между граничными значениями определяется по формуле
Y*
(X)
=Y*верх.
- Y*нижн.
= 2
S{
Y*
(X)},
(7.26)
{
Y*
(X)}=
(
-2X
+ N
)
[N
- (
)
]
,
Xmin X Xmax
Максимальное значение доверительного интервала определяется по формуле
Y*
(X)max
=
Y*
(X)
= 2
S{
Y*
(X{max})},
(7.27)
Xmin X Xmax
Минимальное значение доверительного интервала определяется по формуле
Y*
(X)min =
Y* (X) = 2
S{
Y* (X{min})},
(7.28)
Xmin X Xmax
Для построенной регрессионной модели первого порядка доверительные границы являются криволинейными и определяются с помощью уравнений второго порядка.
Последовательность построения и анализа более сложных эконометрических моделей будет аналогичной, но в отличие от модели парной регрессии для этого необходимо использование специальных компьютерных программ.
Указанные программы описаны в работах [11,12].