Средние величины (св)
СВ в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности.
Свойства СВ
1. В СВ погашаются случайные отклонения отдельных величин.
2. СВ может быть исчислена исходя из величины реальной и нереальной (сумма зарплаты = фонд зарплаты, сумма возрастов = ?).
3
. СВ
обладают относительным постоянством
(только на какой–то промежуток времени).
Формулы для вычисления СВ
|
Наименование |
Простая форма |
Взвешенная форма |
|
Средняя арифметическая (СА) |
|
|
|
Средняя квадратическая (СК) |
|
|
|
Средняя гармоническая (СГар) |
|
|
|
Средняя геометрическая (СГеом) |
|
|
Средняя арифметическая
СА – есть частное от деления суммы вариант на их число.
Свойства СА:
1. Если все индивидуальные значения признака увеличить (уменьшить) в А раз, то среднее значение нового признака соответственно увеличится (уменьшится) в А раз.
2. Если варианты осредняемого признака увеличить (уменьшить) на А, то средняя арифметическая соответственно увеличится (уменьшится) на то же число А.
3. Если веса всех осредняемых вариантов увеличить (уменьшить) в k раз, то средняя арифметическая не изменится.
4. Сумма отклонений от средней равна нулю.
Средняя квадратическая
Применяется для вычисления средней величины стороны n квадратных участков, диаметров труб и т.п.
Средняя гармоническая
Применяется в тех случаях, когда не известны частоты по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение.
Средняя геометрическая
Применяется когда индивидуальные значения признака характеризует средний коэффициент роста.
СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ
Применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака
Виды структурных средних
1. Мода М0 – значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду – вариант, имеющий наибольшую частоту.
где
– нижняя граница модального интервала;
– частоты в модальном, предыдущем и
следующем за модальным интервалах
(соответственно).
Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.
2. Медиана Ме – вариант который находится в середине ранжированного вариационного ряда и делит ряд на две равные части.
где
– нижняя граница медианного интервала;
–медианный
интервал;
–половина
от общего числа наблюдений;
– сумма
наблюдений, накопленная до начала
медианного интервала;
–число
наблюдений в медианном интервале;
–номер
медианы для нечетного числа членов
ряда;
n – число членов ряда.
В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.
Соотношения между средней арифметической, медианой и модой в статистических распределениях.
Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить асимметрию ряда распределения (если модальное значение признака больше средней величины признака, то это свидетельствует о левосторонней асимметрии в данном ряду распределения.
Если модальное значение признака меньше средней величины признака, то это свидетельствует о правосторонней асимметрии в данном ряду распределения).
3. Квартиль – значения признака, которые делят ранжированный ряд на четыре равные по численности части.
4. Квантили – значения признака, которые делят ранжированный ряд на пять равных по численности частей.
5. Децили – значения признака, которые делят ранжированный ряд на десять равных по численности частей.
6. Перцентили – значения признака, которые делят ранжированный ряд на сто равных по численности частей.