2.10.3. Среднее квадратичное отклонение

Для численного выражения рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии могут быть введены и некоторые другие характеристики. Очень удобной характеристикой является среднее квадратичное отклонение.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии этой величины:

σ(X) = (2.16)

Если изучаемая величина X имеет размерность (кг, м, …), тоD(X) имеет размерность, равную квадрату размерностиX (кг², м², …), а размерностьσ(X) такая же, как у самой величиныX .

Пусть известны средние квадратичные отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин X₁ ,X₂ , …,X_n . Справедливо равенство

σ(X₁+X₂+…+X_n) = (2.17)

2.10.4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Пусть f(x) – дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величиныX .

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X , возможные значения которой лежат в промежутке отa доb , называют определенный интеграл:

M(X) = (2.18)

Если возможные значения непрерывной случайной величины X лежат в интервале

(- ∞, ∞), то

M(X) =(2.19)

Две последние формулы являются аналогами формулы для математического ожидания дискретной случайной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения величиныX принадлежат интервалу

(a, b), то

D(X) =(2.20)

Если возможные значения величины X лежат в интервале (- ∞, ∞), то

D(X) =(2.21)

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется таким же равенством, как и для дискретной величины

σ(X) = (2.22)

2.11. Нормальное распределение вероятностей

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое выражается дифференциальной функцией вида

f(x) = (2.23)

Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а иσ. По смыслуа есть математическое ожидание, аσ– среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины.

Отметим некоторые свойства дифференциальной функции f(x) нормального распределения:

1. Функция f(x) определена на всем интервале от - ∞ до ∞ .

2. Для любого x функцияf(x) > 0.

3. Предел функции f(x) приx , стремящемся к ± ∞ , равен нулю, т.е. осьxявляется горизонтальной асимптотой графика функцииf(x).

4. Функция f(x) имеет максимум приx =а. Значение функцииf(x) в точке максимума равно

f(x=a) = .

5. График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривойили кривой Гаусса. Так как разность (x –a) стоит в выражении дляf(x) в квадрате, то нормальная кривая симметрична относительно прямойx =a .

6. Изменение величины параметра а не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль осиx: вправо, еслиа возрастает, и влево, еслиа убывает. При возрастанииσ нормальная кривая становится более пологой и низкой; при убыванииσ нормальная кривая становится более узкой и высокой. Однако, при любых изменениях параметрова иσ площадь, ограниченная нормальной кривой и осьюx, должна оставаться равной единице.