2.10. Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто полная информация о случайной величине, содержащаяся в законе распределения не требуется. Существуют способы выражать некоторые существенные свойства случайных величин всего одним числом. Такие числа, описывающие случайную величину суммарно, в целом, называют числовыми характеристиками случайной величины. Для решения многих задач достаточно знать только числовые характеристики случайных величин.

2.10.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех ее возможных значений x_i на соответствующие вероятности p_i . Математическое ожидание случайной величины X обозначают M(X) . Согласно определению

M(X) = (2.11)

Если случайная величина X имеет только n возможных значений x₁, x₂, …, x_n , вероятности которых соответственно равны p₁, p₂, …, p_n , то

M(X) = x₁ p₁ + x₂ p₂ + … + x_n p_n . (2.12)

Математическое ожидание случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) есть величина неслучайная.

Выясним смысл математического ожидания. Возможные значения любой случайной величины могут быть определены с помощью соответствующего эксперимента. Пусть произведено m испытаний, в которых случайная величина X приняла m₁ раз значение x₁ , m₂ раз значение x₂ , …, и значение x_n m_n раз. Если число испытаний m достаточно велико, то вероятность p₁ приближенно равна относительной частоте значения x₁ , p₂ приближенно равна относительной частоте значения x₂ и т.д. Поэтому

M(X) ≈ .

Мы получили, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины (причем, равенство тем точнее, чем больше число испытаний).

Пример 2.6. Пусть случайная величина X есть число появлений некоторого события А в серии из большого числа n испытаний. Найти математическое ожидание этой величины, если вероятности P_n (k) появления k событий в серии подчиняются закону Пуассона.

Решение. Возможные значения этой величины таковы: 0, 1, 2, 3, …, (n – 1), n . По определению M(X) имеем:

M(X) =

Так как вероятности P_n (k) в распределении Пуассона при больших k очень малы

(справедливо равенство ), можно считать, что число слагаемых в выражении дляM(X) бесконечно. Поэтому

M(X) =

Если p есть вероятность появления события А в одном испытании, то (см. § ) λ = np . Мы выяснили смысл параметра λ в распределении Пуассона:

λ = np = M(X).

2.10.2. Дисперсия дискретной случайной величины

Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания называют разность X – M(X).

Дисперсией (рассеянием) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(2.13)

Как видно из этого определения, дисперсия есть мера "удаленности" возможных значений случайной величины от ее математического ожидания, выраженная через квадратыотклонений. Дисперсия характеризует размах рассеяния, разбросанности возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Получим рабочие формулы для вычисления дисперсии. Пусть дискретная случайная величина задана законом распределения

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Тогда закон распределения квадрата отклонения будет таким

[x1 –M(X)]2	[x2 –M(X)]2	…	[xn – M(X)]2
p1	p2	…	pn

По определению дисперсии получаем (далее для краткости обозначим M(X) =M ):

D(X) = (x₁ – M)² ∙ p₁ + (x₂ – M)² ∙ p₂ + …. + (x_n – M)² ∙ p_n . (2.14)

В некоторых случаях бывает удобной следующая формула

D(X) =M(X²) –M²(X), (2.15)

т.е. дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания. Справедливость этой формулы доказывается с помощью свойств математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]² = M[X² – 2X∙M(X) – M²(X)] =

= M(X²) – 2 M(X)∙M(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X) .

Перечислим свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величиныС равна нулю:D(C) = 0.

Свойство 2. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y) = D(X) + D(Y) ,

D(X+Y+Z) =D(X) +D(Y) +D(Z) и т.д.

Свойство 3. Дисперсияразностидвух взаимно независимых случайных величин равнасуммедисперсий этих величин:

D(X-Y) = D(X) + D(Y).