2.9.5. Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, и пусть вероятность появления событияА в каждом испытании равнар . Еслиn невелико (меньше 20), то для нахождения вероятности того, что событиеА появится в этихnиспытанияхk раз, используют формулу Бернулли. Еслиn велико, то следует использовать формулу Лапласа (2.5). Но формулу Лапласа сложно использовать, если вероятностьрмала (р ≤ 0,1 ). В тех случаях, когдаn велико, а вероятностьp мала, следует использовать формулу Пуассона:

(2.9)

где λ =np. Величинаλ имеет смысл среднего числа появления событияА в большой серии изn испытаний (объяснение в примере 2.6 ).

Пример 2.5. Вероятность обнаружить на сравнительно небольшом пробном участке некоторое редкое растение равнар = 0,005 . Чему равна вероятность того, что в результате обследования трехсот подобных друг другу пробных участков будет обнаружено одно такое растение?

Решение. Согласно условию задачи стоит вопрос о проведенииn = 300 испытаний (обследовании трехсот участков) и о вероятности обнаруженияk = 1 заданного редкого растения. Вычисления дают

λ =np= 300 ∙ 0,005 = 1,5

и

== 0,33 .

Что означают результаты вычислений? Пусть участки обследуются группами, по триста участков в каждой группе. Может оказаться, что на первой группе из трехсот участков будет обнаружено два заданных редких растения. На второй и третьей группе из трехсот участков не будет обнаружено ни одного растения, на четвертой группе – одно и т.д. Не целое число λ= 1,5 – этосреднеечисло заданных редких растений в одной группе из трехсот участков. Из ста таких групп в среднем в тридцати трех группах будет обнаруживаться одно редкое растение.

2.9.6. Дифференциальная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Обозначим через ∆P(x) вероятность того, что непрерывная случайная величинаXпримет значение, принадлежащее числовому интервалу (x, x+∆x). Другими словами, ∆P(x) – это вероятность того, что при измерении значениеX попадет в интервал ∆x, расположенный рядом сx.

Дифференциальная функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины X есть функция f(x), которая удовлетворяет с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ∆x приближенному равенству ∆P(x) ≈ f (x)∆x .

Точное равенство получаем, переходя к дифференциалам:

dP(x) = f (x)dx.

Функцию f(x) часто называют плотностью вероятности в точке x . Это название возникло по аналогии с плотностью массы в точке. Если вдоль оси x непрерывно распределена масса и на интервал (x, x+∆x) приходится масса ∆m(x) , то плотностью ρ(x) массы в точке x называют предел

ρ(x) = =

Если записать последнее равенство в виде dm(x) = ρ(x) dx , то становится очевидной аналогия ρ(x) и f(x) .

Если дифференциальная функция f(x) известна, то это позволяет находить вероятность P(a<X<b) того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a,b):

P(a<X<b) =

Геометрически полученный результат означает: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а , b) , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью x , кривой распределения f(x) и прямыми

x= a и x = b .

Легко убедиться в том, что справедливо равенство

(2.10)

Действительно, этот интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (- . Такое событие достоверно, следовательно вероятность его равна единице. Равенство (2.10) является выражением условия нормировки для непрерывных величин.

Геометрически условие нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной осью x и кривой распределения f(x) равна единице.