2.3. Вероятностьсобытия

Представим себе, что каждая единица некоторой генеральной совокупности была подвергнута испытанию с целью выяснения, каким признаком из множества признаков X,Y,Z, … она обладает. Результат испытания каждой отдельной единицы совокупности называютэлементарным событием (элементарным исходом). Будем обозначать элементарные события буквамиЕ₁ ,Е₂ ,Е₃и т.д. В результате испытания любой единицы совокупности обязательно происходит какое–либо элементарное событие из полного списка (полного набора) элементарных событий, которые могут произойти в данном испытании.

Пример 2.1.Окраска леммингов (грызунов семейства полевок, обитающих в зоне тундры) бывает одноцветной (признакX) или пестрой (признакY). Возьмем в качестве генеральной совокупности множество всех особей леммингов, обитающих на некоторой достаточно обширной территории. Пусть объем этой генеральной совокупности равенN . ПустьN₁ особей являются одноцветными, аN₂ – пестрыми по окраске (N₁ +N₂ =N ). Представим себе, что каждый из леммингов имеет номер, причем, особи с номерами от 1 доN₁ одноцветные, а от (N₁ + 1) доN - пестрые. Тогда, например,Е₄ – это элементарное событие, имеющее следующий смысл: "очередной исследованный лемминг оказался с номером 4 и является одноцветным". Одноцветная окраска может наблюдаться в результате осуществления любого изN₁ элементарных событийЕ₁ ,Е₂ ,Е₃, … ,. В результате осуществления любого изN₂ элементарных событий… ,E_N будет зарегистрирована пестрая окраска.Е

Можно определять события, которым соответствуют множества элементарных событий. Пусть, например, А есть случайное событие – "случайно выбранный лемминг имеет одноцветную окраску". Если происходит любое из элементарных событийЕ₁ ,Е₂ ,Е₃, … ,, то автоматически происходит и событиеА. Те элементарные события, при которых происходит интересующее нас событие, называютблагоприятствующими этому событию. В нашем примере событиюА (случайному выбору одноцветного лемминга) благоприятствующими являются элементарные событияЕ₁ ,Е₂ ,Е₃, … ,. А случайному событиюВ (случайному выбору пестрого лемминга) благоприятствующими являются элементарные события… ,E_N .

Будем считать (хотя в реальных экспериментах это выполняется очень редко), что все элементарные события, которые могут произойти в данном эксперименте, являются равновозможными. В нашем примере это означает, что каждый лемминг из генеральной совокупности имеет равные шансы быть отловленным и стать объектом исследования.

Вероятностью Р(А) события А называютчисло, равное отношению числаN(A) элементарных исходов, благоприятствующих событиюА, к числуN всех равновозможных элементарных исходов испытания:

Р(А) =. (2.1)

Данное определение называют классическим определением вероятности события. По смыслу этого определения, чтобы знать вероятность Р(А) событияА нужно знать, сколько раз произошли бы элементарные события, благоприятствующиеА , если бы было возможно подвергнуть испытанию каждую единицу генеральной совокупности.

Для многих генеральных совокупностей число Nи числаN(A),N(В),N(С), …, элементарных событий, благоприятствующих событиямА,В ,С , …, точно неизвестны, так как числоN единиц генеральной совокупности слишком велико, чтобы можно было провести обследование всех её единиц. Поэтому для многих генеральных совокупностей мы не знаем и никогда не сможем узнать точные значения вероятностей событий, связанных с этими совокупностями.

Пусть из генеральной совокупности, при исследовании единиц которой может происходить или не происходить событие А, извлеченыkразных выборок объемомn. Пусть над каждой единицей какой-либо выборки проведено испытание, результатом чего явилосьn элементарных событий, из которыхn(A) благоприятствуют событиюА, а остальныеn -n (A) нет. Пусть подобное обследование проведено для каждой изkвыборок. Очень важно, что можно определить долю (или процент) отkвыборок, для которых отношениеоказывается приближенно равнымс заданной точностью, то есть определить процент случаев, когда приближенное равенствоР(А) ≈выполняется с заданной точностью.

Из определения (2.1) вероятности вытекают следующие её свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событиеА достоверно, то ему благоприятствует каждый элементарный исход испытания. В этом случаеN(A) =N и, следовательно,

Р(А) === 1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, в этом случае ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию, следовательно,N(A) = 0 и

Р(А) === 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, лежащее внутри интервала ( 0, 1). Действительно, элементарные исходы, благоприятствующие случайному событиюА , составляют лишь часть от полного числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 <N(A) <N . Отсюда следует, что 0 << 1, то есть

0 < Р(А) < 1.

Объединяя эти свойства, получаем, что вероятность любого события удовлетворяет неравенствам

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Если вероятность Р(А) умножить на 100, то будет получено число процентов, которое составляют элементарные исходы, означающие появление событияА , от полного числа элементарных исходов.