6. 4 Бесконечно малые функции и их сравнение

Определение 1

Функцию называютБМФ в окрестности точки , если.

Определение 2

Функцию называютББФ в окрестности точки , если, т.е..

Если - БМФ в точке, то-ББФ в точке. Например, функциявявляется БМФ, а- ББФ в точке.

Определение 3

Пусть - БМФ в окрестноститочки. Тогда:

- называютбесконечно малой более высокого порядка малости, чем , еслии обозначают;

- иназывают БМФодного порядка малости, если ;

• и называютэквивалентными,

если и обозначаютпри.

Теорема 1 Если при, то.

Доказательство:

Рассмотрим.

Теорема 2

Пусть при. Тогда их разностьявляется бесконечно малой большего порядка малости, чем каждая из них, т.е.ипри.

Доказательство:

Рассмотрим .

Аналогично, .

Замечание

Полученный результат позволяет все экви-

валентности записать в виде: если при, то. Например,и т.д.

Определение 4 Представление функции в окрестноститочкив виде, где- некоторая константа, называетсявыделением главной части функции, при этом называетсяглавной частью функции в, а-порядок малости этой функции.

Пример

Вычислить . Выделим главные части в каждом слагаемом числителя и знаменателя:,,,.

Тогда

6. 5 Свойства функций, непрерывных на промежутке

Определение 1

Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке, а на концах отрезка непрерывна слева и справа соответственно, т.е.,.

Определение 2

Функция ограничена сверху (снизу) на промежутке , если.

Говорят, что функция ограничена на промежутке , если.

Замечание

Пусть . Тогдаограничена на, если.

Определение 3

Говорят, что функция неограниченна на интервале , если.

Определение 4

- ТВГ функции на отрезке, если:

1) ;

2) .

Определение 5

- ТНГ функции на отрезке, если:

1) ;

2) .

Теорема 1 Теорема Вейерштрасса

Пусть функция . Тогда:

1) ограничена на этом отрезке;

2) достигает на этом отрезке ТВГ и ТНГ.

Доказательство:

1) . Пусть, но не является ограниченной на этом отрезке, т.е.. Пусть. Тогда, т.е. последовательностьнеограниченно растет при. С другой стороны, последовательностьограничена, т.к.. Тогда в соответствие с принципом компактности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так какнепрерывна, то она непрерывна в точке. Следовательно, по определению. Но имеем, т.е.. Получили противоречие.

2) Из утверждения 1) имеем, что функция ограничена на. Следовательно, ограничено множествозначений функции. Поэтомуимеет ТВГ и ТНГ:и. Нужно доказать,. Докажем существова-ние. По определению ТВГ. Предположим противное, т.е. что. Тогдаили. Тогда функциянепрерывна на.

В силу 1) функция ограничена на, т.е.. Т.о. получили противоречие.

Замечание. Существенно, что функция непрерывна на отрезке .

Пример

1.Функция непрерывна на, но не ограничена на нем.

2. Функция непрерывна на интервале, но не достигает ни ТВГ, ни ТНГ.

3. Функция на всей числовой оси функция ограничена, но не является непрерывной в точках, достигает ТНГ.

Теорема 2: Теорема Больцано-Коши

Пустьи. Тогда.

Доказательство:

Пусть для определенности . Разделим отрезокпополам, получими. Если, то. Если, то назовемтот отрезок, где, и т.д.

Таким образом, мы сформировали механизм ССС. Тогда по теории Кантора точка, принадлежащая всем сегментам сразу. Покажем, что.

. Для определенности . Тогда найдется. В соответствии с механизмом ССС существует номер, начиная с которогопопадает в окрестность. Тогда. Получили противоречие с правилом выбора интервала.

Так как , то. Но. Тогда.

Замечание

Теорема Больцано-Коши дает эффективный способ нахождения корней.

Следствие Пусть функция ипричем. Тогда.

Доказательство:

Рассмотрим функцию и применим теорему Больцано-Коши.

Определение 6

Пусть функция .Обратной к функции называется функция.

Теорема 3 Об обратной функции

Пусть функция непрерывна и строго монотонна на некотором промежутке. Тогда существует обратная функция, которая является монотонной и непрерывной на множестве, (- отрезок с концами).

Доказательство:

Для определенности пусть функция возрастает на. По следствию из теоремы 8 функцияпринимает все промежуточные значения, т.е.. Следовательно, отображениесюръективно, т.е. является отображением на множество. Так как функциявозрастает на множестве , то . Таким образом, отображение в различных точках принимает различные значения, т.е. оно инъективно. Следовательно, отображение биективно, т.е. – взаимно однозначное отображение на. Значит, определено обратное отображение, задаваемое, если.

По определению обратной функции . Это означает, что функциявозрастает на.

37