Глава III Числа «Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человека». Л. Кронекер (1823-1891)

3. 1. Немного истории

Абстрактное понятие числа появилось в третьем тысячелетии до нашей эры в Египте и Месопотамии, и ещё 10 веков понадобилось этим цивилизациям для выработки систем счисления. У египтян это была десятеричная, непозиционная, а в Вавилоне позиционная, но шестидесятеричная. Ещё примерно через 20 веков в Индии появилась десятичная позиционная система, которая к IX веку нашей эры проникла на Арабский Восток и только к XII веку стала проникать в Европу. Однако ещё в XIV веке в европейских университетах считали римскими цифрами, хотя купцы уже пользовались арабской записью цифр и десятеричной позиционной системой.

Дроби были известны ещё в Египте и Месопотамии, но только в XV веке Аль-Каши из Самарканда изобрел десятичные дроби, которые стали известны в Европе с XVI века. Отрицательные числа появились в Китае и Индии, активно использовались в античной математике (Диофант, III век до н.э.) и на Арабском Востоке. Индийское изображение нуля арабы называли «цифра». Однако даже в позднем средневековье это слово в Европе было ругательством, а Блез Паскаль в XVII веке писал: «Я знаю людей, которые никак не могут понять, что если из нуля вычесть четыре, то получиться нуль». Честь открытия иррациональных чисел легенда приписывает Пифагору, однако, достоверно известно, что в IV веке до н.э. греческие философы их уже знали.

Мнимые числа появились в XVI веке в работе Д. Кардано, и за последующие 300 лет была создана исчерпывающая теория комплексных чисел и функций комплексного переменного. Теория действительных чисел появилась только к концу XIX века. В XX веке стало ясно, что обоснование математики в целом связано с обоснованием арифметики (от греч. ?!! – число) и, в конечном итоге, с обоснованием понятия числа, что и стало одним из направлений исследований современной математики.

3. 2. Развитие понятия о числе

Определение 1. Множество называется замкнутым относительно операции, если результат применения этой операции к элементам множества тоже оказывается элементом этого множества.

Примеры. Натуральные числа . Очевидно, что множествонатуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения , но незамкнуто относительно операций вычитания и деления, т.е. на этом множестве не всегда решаются уравнения типаи.

Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, умножения и вычитания, но по-прежнему не замкнуто относительно операции деления.

Определим множество рациональных чисел , как множество чисел вида, где,, или, что то же самое, как множество бесконечных периодических десятичных дробей.

Замечание. По определению . Учитывая это, в дальнейшем будем считать, что период не состоит из одних нулей.

Множество рациональных чисел замкнуто относительно операций. Однако ещё Пифагор заметил, что среди рациональных чисел нет числа, обозначающего диагональ прямоугольного треугольника с единичными катетами. Другими словами, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. (Теорема Пифагора) На множестве рациональных чисел нельзя решить уравнение .

. Пусть решение этого уравнения есть рациональное число , причём числаивзаимно просты, т.е. дробь несократима. Тогдаили. Значит,является чётным числом, тогдатоже чётное, т.е.. Тогдаили. Значит,- чётное, тогда– чётное, т.е.. Получим. Таким образом, дробьсократима, что противоречит условию. ■

Замечание. Используя закон контрапозиции, доказать самостоятельно, что если - чётное, то и- чётное, а если- нечётное, то и– нечётное.

Таким образом, среди чисел вида нет корней уравнения(вообще можно показать, что уравнение,имеет только натуральные корни на множестве рациональных чисел). Все рациональные числа представимы в виде бесконечных периодических дробей, однако, легко показать, что существуют и бесконечные непериодические дроби. Покажем, например, что дробь(после запятой выписанывсе натуральные числа) не является периодической.

. Пусть, начиная с -го места, эта дробь имеет период, состоящий изцифр, среди которых хоть одна цифра не есть нуль (см. замечание 1). Но среди натуральных чисел есть, например, число, число нулей в котором заведомо больше. ■

Вейерштрасс предположил, что числа вида и бесконечные непериодические дроби – это числа одной природы, которые ещё древние греки назвали иррациональными. Пополнив ими множество рациональных чисел, мы получим множество действительных чисел, определяемое как множество бесконечных десятичных (периодических или непериодических) дробей. Это множество замкнуто относительно операций сложения, умножения, вычитания и деления. Мы показали, что оно замкнуто относительно операции извлечения корня,если под корнем стоит неотрицательное действительное число, т.е. введение иррациональных чисел не замкнуло множество действительных чисел относительно операции извлечения корня (нельзя извлечь корень из отрицательного числа). Таким образом, мы ввели не все числа. Проблема заключается в том, что на действительной оси, как мы сейчас покажем, больше нет места.