Глава IV Числовые последовательности

п. 1 Определение и примеры

Определение 1. Рассмотрим множество натуральных чисел и множестводействительных чисел. Если, то правило такого соответствияи его результат называетсячисловой последовательностью и обозначается , где– общий член последовательности.

Замечание. Очевидно, что последовательность – множество значений функции натурального аргумента, т.е. .

Замечание. Существенно, что в определении последовательности аргумент пробегает все множество.

Замечание. Последовательность конечного числа элементов (конечная последовательность) называют кортежем или вектором. Такие последовательности рассматривать не будем.

Способы задания последовательности

1. аналитический: ;

2. рекуррентный: .

Арифметическая прогрессия , геометрическая прогрессия, факториал, гдепричем, - примеры задания последовательностей рекуррентным способом.

Последовательности бывают:

1. ограниченные;

3. Бмп (бесконечно малые последовательности);

3. Неограниченные;

4. ББП (бесконечно большие последовательности).

Определение 2. Последовательность называетсяограниченной, если существуют такие действительные числа m и M (), что(для любого натурального числаn).

Определение 2*. Пусть(А – максимальное из чиселm и M). Тогда последовательность называетсяограниченной, если .

Пример. Последовательность 0,1,0,1, ... ограничена, т.к.

Определение 3.Последовательность называетсяБМП (бесконечно малой последовательностью) , если для любого положительного  (эпсилон) найдется номер, зависящий от , такой, что, как только n>N выполняется неравенство

()

Пример. Рассмотрим последовательность . Для того, чтобынеобходимо, чтобы, т.е.(– целая часть числа). Задаваянекоторые значения, будем получать номер, начиная с которого члены последовательностипопадут в-коридор. Например, если=10, то=0, тогда=1; если=1, то=1, тогда=2; если=0,1, то=10, тогда=11, и т.д.

Замечание. Обычно БМП обозначают первыми буквами алфавита.

Пример. Последовательность ограничена, но не является бмп.

Определение 4. Последовательность называетсянеограниченной, если

для любого неотрицательного числа А найдется n, такой что .

(.)

Определение 5. Последовательность называетсяББП, если для любого положительного М найдется номер, зависящий от М, такой, что, как только n>N выполняется неравенство ().

Пример. Последовательность является ББП, а последовательностьявляется неограниченной, но не является ББП.

п. 2 Свойства БМП

Вспомним определение БМП: если для любого положительного  (эпсилон) найдется номер, зависящий от , такой, что, как только n>N выполняется неравенство

(*) , то- БМП.

Теорема 1. Сумма двух БМП есть БМП.

Доказательство: Пусть и- БМП. Тогда соотношение (*) имеет место для каждой из данных последовательностей. Выберем, тогда для последовательностинайдется номер, начиная с которого, а для последовательностинайдется номерначиная с которого

Рассмотрим последовательность . Пустьтогда, начиная с номера,, т.е. для, начиная с номера. Это означает, что последовательностьявляется БМП.

Следствие. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).

Теорема 2. БМП ограничена.

Доказательство: Пусть - БМП. Тогда для нее имеет место соотношение (*), т.е. начиная с некоторогочленывойдут в-коридор. Другими словами, из этого-коридора выпадает не более чем конечное число первых членов последовательно-

сти . Пусть, тогда, что означает ограниченность последовательности.

Теорема 3. Если - БМП, аограничена, то последовательностьявляется БМП.

Доказательство: Так как -БМП, то имеет место соотношение (*). Выбереми найдем номер, начиная с которого члены последовательностивойдут в-коридор, где число. Тогда, начиная с номера, будет выполняться неравенство.

Следствие 1. Произведение двух БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).

Следствие 2. Произведение любого конечного БМП есть БМП. (Доказать самостоятельно).

Теорема 4. Для того, чтобы последовательность была БМП, необходимо и достаточно, чтобыбыла ББП.

Доказательство:

Необходимость. Пусть - ББП. Тогда имеет место соотношение (*), т.е., начиная с некоторого номера. Пусть, тогда, т.е., что означает:- ББП.

Достаточность доказать самостоятельно.