Введение.

Тщательное планирование – это половина победы.

Вторую половину приносит способность в любой момент отказаться от любого плана.

Александр Македонский.

Современная математика, быть может, самая абстрактная область человеческой культуры. В то же время мы применяем математику для решения гигантского количества разнообразнейших задач от повседневной жизни до вершин теоретической физики, биологии и инженерной практики. Это А. Эйнштейн называл внутренним совершенством и внешним оправданием – два требования, которые предъявляются к любым видам интеллектуальной практики человечества.

Внутреннее совершенство математики выражается в её архитектонике – особого рода сложной структуре её понятий, в её методе формально-логического доказательства, в её моделях (алгебраические структуры, пространства, бесконечность), её конструкциях (число, функция, предел) и способах их обобщений. С точки зрения внешнего оправдания математика занимает особое место в человеческой культуре.

В современном понимании математика, с одной стороны – это культуральный троп, т.е. один из способов человеческого понимания мира, в основе которого лежит иерархия формально-логических рассуждений, исходящих из конечного числа явных утверждений, исходных посылок и герметических по отношению к ним (т.е. либо не использующих никакой иной информации, кроме той, что в них содержится, либо строго контролирующих её в рамках структуры всей математики во избежание порочного круга в рассуждениях). Жестко иерархическая структура математики позволяет для достаточно обширной области рассуждений показать их непротиворечивость, очертить круг проблем, где это сейчас невозможно и более или менее четко поставить задачи в рамках решения этих проблем. Это и позволяет говорить о об аподиктической (безусловно, убедительной) достоверности математических результатов.

С другой стороны, математика является единственным языком науки, позволяющим строить как динамические, так и стохастические модели природных и общественных явлений вне зависимости от парадигм той или иной области знания. Таким образом, не являясь, сама по себе наукой (так как она не изучает ни мир вне человека, ни мир человека), математика является естественной основой и мощнейшим методом любой науки. "В каждой науке столько науки, сколько в ней математики", и если под математикой понимать не только применение тех или иных формальных приемов, но и наличие математического стиля мышления, то эти слова применимы и к любой области человеческой деятельности. Потому что, только математический склад ума позволяет, как писал греческий философ-неоплатоник Прокл Диадох в V веке нашей эры “увидеть единство в многообразии, неделимое в делимом и бесконечное в конечном”. Собственно говоря, формирование рационального типа мышления, основанного на рассуждении, а не на вере в Бога или авторитеты и есть главная задача курса, ибо измененное таким образом сознание позволит вам, как говорят мудрые китайцы, почувствовать в капле этого курса всю красоту и ужас океана математики.

Историческая панорама

Бог не может изменить прошлое, но историки могут.

С. Батлер.