Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Инженерно-технологическая академия ЮФУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции Матан / Глава 6 Предел и непрерывность функции в точке.doc

Скачиваний:

105

Добавлен:

01.06.2015

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

3.7. Построение графиков композиций функций

Под композицией функции будем понимать функцию от функции. Для того чтобы построить эскиз графика такой функции, надо последовательно построить каждую из составляющих функций и провести исследование изменений аргументов каждой из них.

Примеры. 1. Построить график . Эту функцию можно представить в виде суперпозиции функцийy=arctgU; ;V=x–1.

х + V + U 0+ y 0+

х 1+ V 0+ U 0+ y –

х 1– V 0– U – y –+

х – V – U 0– y 0–

Таким образом, мы выяснили поведение у при изменении х. По результатам этого исследования можно построить эскиз графика.

2. Построить эскиз графика функции. Эта функция есть суперпозиция следующих функций:;U=1+V; V=2^t; ;g=x–1.

Их графики имеют вид:

Исследуем их поведение, и на основании этого исследования построим график.

х +	g +	t 0+	V 1+	U 2+	y –
х 1+	g 0+	t +	V +	U +	y 0+
х 1–	g 0–	t –	V 0+	U 1+	y 1–
х –	g –	t 0–	V 1–	U 2+	y +

Задание. 1. Построить графики функций: а) ; б); в); г).

3.8. Построение асимптотических портретов функций

В тех случаях, когда не работают описанные выше методы, общий характер поведения функции можно установить асимптотическим исследованием. Схема этого исследования такова.

А. Общие свойства. Надо ответить на следующие вопросы:

ОДЗ;
симметричность;
особенности – выявляем точки, в которых функция не определена, и точки, в которых она хорошо считается («хорошие» точки).

В. Асимптотические свойства.

– горизонтальные асимптоты;

y=kx+b – наклонная асимптота;

– вертикальная асимптота.

Здесь а₁, а₂, … ,а_i, … ,а_n – точки, в которых функция не определена. Именно они определяют вертикальные асимптоты. Наклонной асимптотой y=kx+b (при k=0 – горизонтальной) называется прямая, разность между которой и функцией стремится к нулю по мере того, как х стремится к бесконечности. Вертикальной асимптотой х=а_i называется прямая, разница между которой и функцией стремится к нулю по мере того, как ха_i+ и ха_i–.

Далее рисуем «сетку», т.е. систему координат со всеми асимптотами и «хорошими» точками, и по результатам исследования рисуем асимптотический портрет. Полученный эскиз графика уточняется с использованием первой и второй производных, но этим мы здесь заниматься не будем.

Примеры. 1. Построить график функции .

А. 1. D: x(–; –2)(2; +).

2. f(–x)= –f(x) – функция нечетная.

3. Эта функция имеет конечное число точек, в которых она не определена, следовательно, она непериодична (докажите эту теорему!)

4. (в этих точках функция не определена). Хорошие точки y(0)=0; .

В. 1. х + у +.

х + .

Поскольку функция симметрична (нечетна), то достаточно построить ее в правой полуплоскости и продолжить нечетным образом на левую полуплоскость. По результатам исследования строим график:

2. ..

А. 1. D: хR.

2. f(–x)f(x); f(–x)–f(x), т.е. функция общего вида, непериодическая.

3. у(0)=0; ;у(–1)=2.

В.х +; у0–; х –; у0+. Наклонных асимптот нет, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Вертикальных асимптот нет, так как нет точек, в которых функция не определена. Строим эскиз графика. Пунктиром нарисована та часть графика, которую можно только угадать. Более подробное исследование требует использования производных.

Задания для самостоятельной работы

Из изображенных на рис. 1–10 множеств точек выберите те, координаты x и y которых удовлетворяют заданному условию:

1) 4x²+y²2(|x|+|y|);

3) ||y|–|x||=2;

4) |x+2|+|y–1|=1;

5) ||x|+||y|–3|–3|=1;

6) ||y|+||x|–3|–3|=1;

7) |y–x|+x+y=2;

8) x+y–|y–x|=4;

9) |x|+|y|+|x–y|2;

10) |y|=x²–4|x|+3.

Ответы: 1) рис. 9; 2) рис. 1; 3) рис. 2; 4) рис. 5; 5) рис. 4; 6) рис. 8; 7) рис. 10; 8) рис. 6; 9) рис. 3; 10) рис. 7.

п. 6.1 Определение предела функции в точке

Определение 1

-окрестностью точки называют интервали обозначают(или).

Определение 2

О крестностьназываютпроколотой, если из исключена сама точка, и обозначается(или).

Определение 3

Говорят, что функция имеет в точке предел, равный , если для любой последовательности точек, сходящейся к точке, последовательность значенийсходится к числуи обозначается.

Замечание 1 Функция может быть не определена в самой точке.

Замечание 2 Так как предел функции есть более сложноорганизованный предел последовательно-сти, то имеют место все теоремы о пределах последовательностей.

Пример Вычислим .

Выберем любую последовательность :. Тогда.

Пример Вычислим .

Выберем любую последовательность такую, что. Тогда возникает неопределенность. Воспользуемся тем, что для любого. Тогда.

Пример Рассмотрим функцию Дирихле , (- множество рациональных чисел).

Если взять последовательность , где, то; если жетакова, что, то. Значит, функция Дирихле не имеет предел ни в одной точке действительной оси, так значение предела зависит от выбора последовательности.

Теорема 1. Критерий Коши существования предела.

Для любого , найдется, зависящее от, такое что ,следовательно, что равносильно:

(1)

Доказательство:

Необходимость. Пусть соотношение (1) выполняется. Покажем, что для любой последовательности , последовательностьстремится кпри. Выберем какое-нибудь. Понайдемиз неравенства, т.е. определим окрестность. Зная, можно найти номер, начиная с которогопопадает в(- коридор точки). Тогда в силу соотношения (1) имеем. Это означает, что выполняется соотношение (**) для последовательности, т.е..

Достаточность. Пусть существует . Покажем, что выполняется соотношение (1). Воспользуемся методом от противного.

Пусть соотношение (1) не выполняется, т.е. .

Так как , то выполняется соотношение (**), т.е. найдется номер, начиная с которого. Так каклюбое, то выберем в качестве. Тогда. По теореме о «двух милиционерах» при. Но тогда в силу определения 2 последовательность, т.е.(имеет место соотношение (**)). Получили противоречие.