11. Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций x = a, x = b, y = 0, y = f(x) (f(x)  0 при x  [a; b]), находится по формуле .

Если фигура (D) ограничена графиками функций x = a, x = b, y = f(x), y = g(x), f(x)  g(x) при x [a; b], то площадь S фигуры (D) находится по формуле .

Пример 23. Найти площадь S фигуры (D), ограниченной линиями y = –x² + 2x + 2 и y = 2x + 1.

Решение. Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций, для чего решим уравнение: –x² + 2x + 2 = 2x + 1; x² – 1 = 0; x₁ = –1,

x₂ = 1. Для всех точек x из отрезка [–1; 1] –x² + 2x + 2  2x + 1. Поэтому

.

Пример 24. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение. Эллипс имеет две оси симметрии: координатные оси 0х и 0у. Поэтому площадь S фигуры равна учетверённой площади S₁ части (D₁) фигуры, расположенной в первой четверти (заштриховано). Фигура (D₁) ограничена сверху линией , снизу – осью 0х, слева – осью 0у. Поэтому

.

Отсюда находим S = 4S₁ = ab.

Площадь S криволинейного сектора, ограниченного графиком функции и лучамиив полярной системе координат, находится по формуле.

Пример 25. Найти площадь S фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат уравнением .

Решение. Начнём с изображения линии. Так как , то нам нужно сначала решить неравенство. Имеем

,

, .

При n = 0: ;

при n = 1: ;

при n = 2: ;

при n = 3: – этот угол является повторением угла, соответствующего значению n = 0. Рассмотрение других значений приводит к уже полученным углам на плоскости. Рассмотрим рисунок. Наша фигура ограничена тремя лепестками. Её площадь S равна 3S₁, где S₁ – площадь одного лепестка (заштриховано).

Имеем

.

Отсюда находим S = 3S₁= .

12. Вычисление длины дуги

Линия (L) в пространстве называется гладкой, если в каждой точке (L) можно провести касательную к этой линии. Если линия без самопересечений задана параметрическими уравнениями

то дифференцируемость x(t), y(t), z(t) гарантирует гладкость линии; аналогичное утверждение справедливо для плоской линии. Если линия без самопересечений на плоскости с заданной полярной системой координат определена полярным уравнением , то и в этом случае дифференцируемостьвлечёт гладкость этой линии.

Если гладкая линия (L) на плоскости (в пространстве) задана параметрическими уравнениями ,(и вдобавок к этомудля линии в пространстве),, то длиналинии (L) находится по формуле

().

Если гладкая линия (L) задана явным уравнением ,, то.

Для гладкой линии (L), заданной полярными уравнениями, ,.

Пример 26. Найти длину линии, заданной уравнением,,.

Решение. Имеем

.

Пример 27. Найти длину дуги логарифмической спирали , находящейся внутри окружности.

Решение. Дуге спирали, лежащей внутри окружности , соответствуют значения. Поэтому

.

13. Вычисление объёмов тел

Если в пространстве заданы ось 0х, тело (Т), проекцией которого на 0х является отрезок [a; b] , и для любого x  [a; b] известна площадь S(x) поперечного сечения S(x), то объём V тела (Т) находится по формуле

.

В частности, если тело (Т) получено путём вращения графика функции ,вокруг оси 0х, то объём тела вращения равен.

При вращении графика функции f(x) вокруг оси 0у формула объёма принимает вид

.

Пример 28. Найти объём V тела (Т), ограниченного эллипсоидом

.

Решение. Проекцией тела (Т) на ось 0х является отрезок [–a; a]. Найдём формулу площади S(x) поперечного сечения,

x  [a; b]. Перепишем уравнение эллипсоида в виде

.

Это есть уравнение поперечного сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через точку x и перпендикулярной оси 0х. А мы уже знаем (задача 22), что площадь фигуры, заключённой внутри этого эллипса, равна . Следовательно,

.