VII. Интегральное исчисление функции одного переменного

1. Неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), заданной на числовом множестве X, если для любого . Совокупность всех первообразных функций f(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается . Любые две первообразные для одной функции отличаются на константу (постоянную величину).

Другими словами, имеет место равенство , где F(x) – некоторая (фиксированная) первообразная для f(x), а С пробегает всевозможные числовые значения.

Не всякая функция имеет первообразную. Однако, если f(x) – непрерывная функция, то она имеет первообразную.

2. Таблица основных неопределённых интегралов

,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

3. Основные свойства неопределённого интеграла

1. ;

2. , где k – постоянная величина;

3. .

(свойства 2 и 3 составляют так называемое свойство линейности).

Пример 1. Найти .

Решение. =

.

4. Интегрирование методом замены переменного

Теорема 1. Если и , то при условии дифференцируемости функции (x) справедлива формула

или .

Теорема 1 значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А именно, в силу этой теоремы таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Напомним формулу для дифференциала функции , (*), которая часто используется при вычислении интегралов.

Пример 2. Найти интегралы: а) ; б) ; в) .

Решение.

а)

;

б)

;

в)

.

Пример 3. Найти .

Решение.

.

Этот пример можно решить ещё и так:

, ;

;

Пример 4. Найти .

Решение. Положим .

Тогда и

.

Пример 5. Найти .

Решение. Применим подстановку .

Тогда .

Имеем

.

5. Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) дифференцируемы, то справедлива формула интегрирования по частям

.

Эту формулу следует применять в тех случаях, когда подынтегральное выражение vdu проще исходного выражения udv.

Ниже приведены основные типы интегралов, берущихся по частям.

I тип	II тип	III тип (интегралы, приводящиеся к себе)

За u принимаются подчёркнутые функции, за dv – остальная часть подынтегрального выражения. P_n (x) – многочлен степени n. Интегралы I типа берутся путём интегрирования по частям n раз, II типа – m раз, III типа (за исключением двух последних) – 2 раза (причём, в первом интеграле III типа оба раза за u можно принять как , так и тригонометрические функции , ).

По частям могут быть взяты и интегралы, не вошедшие в эту таблицу.

Пример 6. Найти интегралы:

а) ;    б) ;    в) .

Решение. а)

.

Здесь и ниже при нахождении v при известном dv мы полагаем С = 0 (как в этом случае: dv = dx, отсюда следует v = x + C, но мы берём одну из первообразных v = x).

б)

.

в) Обозначим . Имеем

.

Получается, что

Отсюда находим (учитывая, что J является семейством функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину)

.