10. Несобственные интегралы

1. Несобственный интеграл I рода. Пусть функция f(x) определена на и интегрируема на отрезке [a; b] для любого. Несобственный интеграл первого рода определяется равенством

.

Если существует конечный предел в этом равенстве, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы

и :

, .

Пример 19. Вычислить: а); б); в).

Решение.

а)

.

б)

,

и интеграл расходится;

в)

.

Несобственный интеграл I рода обладает свойством линейности:

(при условии сходимости интегралов в правой части равенства).

Для исследования вопроса сходимости несобственного интеграла часто оказывается полезным следующий факт: пусть , тогда:

Аналогичное утверждение справедливо для интеграла ,, и, a > c.

Теорема 5 (первый признак сходимости). Пусть f(x) и g(x) определены на , для любого b>a f(x), g(x) интегрируемы наи. Тогда имеем:

1. если сходится, то сходится и;

2. если расходится, то расходится и.

Теорема 6 (второй признак сходимости). Пусть f(x) и g(x) определены на ,и пусть существует конечный предел. Тогда интегралы,ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. одновременно сходятся или расходятся).

Теорема 7. Если сходится, то сходится и

(в таком случае говорят, что сходится абсолютно).

Аналогичные утверждения справедливы для несобственного интеграла .

Пример 20. Исследовать на сходимость интегралы:

а) ; б); в).

Решение. а) Подынтегральная функция представляет собой рациональную функцию, разность степеней числителя и знаменателя равна 2. Рассмотрим вспомогательную функцию. Найдём предел

.

Следовательно, согласно второму признаку сходимости, интегралы иведут себя одинаково в смысле сходимости. Но известно, чтосходится, значит и наш интегралсходится.

б) является иррациональной функцией; степень числителя равна 3/2 (числитель можно представить как), степень знаменателя равна 2. Рассмотрим вспомогательную функцию. Докажем, что существует конечный предел, не равный 0. Действительно,

.

Поэтому ,ведут себя одинаково в смысле сходимости. А так какрасходится, то расходится и.

в) Обозначим . Так как, то. Интегралсходится (доказывается это, как и выше:,сходится и можно воспользоваться вторым признаком сходимости). Мы попадаем в условие теоремы 5 (часть 1), в которой говорится, что наш интеграл сходится.

2. Несобственный интеграл II рода. Пусть функция f(x) определена на [a; b) и (или = –). Несобственный интеграл второго рода функции f(x) на [a; b определяется равенством

.

Если существует конечный предел в этом равенстве, то говорят, что интеграл сходится, в противном случае – расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл II рода для случаеви. Если же f(x) неограниченна в любой окрестности некоторой внутренней точки, то полагают

.

Пример 21. Вычислить интегралы: а) ; б).

Решение. а)

.

б)

.

Значит, интеграл расходится.

Формулировки признаков сходимости для несобственных интегралов II рода, по существу, ничем не отличаются от формулировок признаков сходимости для несобственных интегралов I рода. Для применения этих признаков полезно пользоваться тем, что

,

Пример 22. Исследовать на сходимость интегралы:

а) ; б); в).

Решение. а) . Подынтегральная функцияв промежутке [2; 3] имеет особую точку x = 2. Множительстремится к 1/2 при. Поэтому естественно ожидать, что наша функция в окрестности точки x = 2 ведёт себя, как; проверим это:

.

Следовательно, согласно второму признаку сходимости, интегралы иведут себя одинаково в смысле сходимости. Но второй интеграл сходится (p = 1/2 < 1), поэтому сходится и наш интеграл.

б) Функция имеет на промежутке [0; 1] одну особую точку x = 0. Функциииявляются бесконечно малыми величинами при. Известно, что , x² при . Поэтомупри. А так какрасходится, то расходится и наш интеграл.

в) Разложим знаменатель () подынтегральной функциипо формуле Тейлора в окрестности особой точкифункции:

.

Следовательно,  .

Известно, что сходится, следовательно, сходится и наш интеграл.