VII. Интегральное исчисление функции одного переменного

1. Неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), заданной на числовом множестве X, если для любого. Совокупность всех первообразных функцийf(x) называется неопределённым интегралом от f(x) и обозначается . Любые две первообразные для одной функции отличаются на константу (постоянную величину).

Другими словами, имеет место равенство , гдеF(x) – некоторая (фиксированная) первообразная для f(x), а С пробегает всевозможные числовые значения.

Не всякая функция имеет первообразную. Однако, если f(x) – непрерывная функция, то она имеет первообразную.

2. Таблица основных неопределённых интегралов

,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

3. Основные свойства неопределённого интеграла

1. ;

2. , где k – постоянная величина;

3. .

(свойства 2 и 3 составляют так называемое свойство линейности).

Пример 1. Найти.

Решение. =

.

4. Интегрирование методом замены переменного

Теорема 1. Если и , то при условии дифференцируемости функции (x) справедлива формула

или .

Теорема 1 значительно расширяет таблицу простейших интегралов. А именно, в силу этой теоремы таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Напомним формулу для дифференциала функции ,(*), которая часто используется при вычислении интегралов.

Пример 2. Найти интегралы: а) ; б); в).

Решение.

а)

;

б)

;

в)

.

Пример 3. Найти.

Решение.

.

Этот пример можно решить ещё и так:

, ;

;

Пример 4.Найти.

Решение.Положим.

Тогда и

.

Пример 5. Найти .

Решение. Применим подстановку .

Тогда .

Имеем

.

5. Интегрирование по частям

Если u(x), v(x) дифференцируемы, то справедлива формула интегрирования по частям

.

Эту формулу следует применять в тех случаях, когда подынтегральное выражение vdu проще исходного выражения udv.

Ниже приведены основные типы интегралов, берущихся по частям.

I тип	II тип	III тип (интегралы, приводящиеся к себе)

За u принимаются подчёркнутые функции, за dv – остальная часть подынтегрального выражения. P_n (x) – многочлен степени n. Интегралы I типа берутся путём интегрирования по частям n раз, II типа – m раз, III типа (за исключением двух последних) – 2 раза (причём, в первом интеграле III типа оба раза за u можно принять как , так и тригонометрические функции,).

По частям могут быть взяты и интегралы, не вошедшие в эту таблицу.

Пример 6. Найти интегралы:

а);    б);    в).

Решение. а)

.

Здесь и ниже при нахождении v при известном dv мы полагаем С = 0 (как в этом случае: dv = dx, отсюда следует v = x + C, но мы берём одну из первообразных v = x).

б)

.

в) Обозначим . Имеем

.

Получается, что

Отсюда находим (учитывая, что J является семейством функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину)

.