При очень больших числах Био корень |
Bi 100; |
|
1 |
|
|
характеристического уравнения |
|
|
|||
|
n 2n 1 |
|||
|
|
2 |
|
|
и "начальная тепловая амплитуда" |
||||
D |
2sin n |
|
4 1 n 1 |
. |
n sin n cos n |
|
|||
n |
2n 1 |
|||
При числе Фурье Fo 0.3, когда ряд быстро сходится, распределение температуры с погрешностью не более 1 % описывается только первым членом. В этих условиях температура
на оси (в середине) пластины (Х = 0) |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Х 0 |
|
|
exp |
2 |
|
Fo , |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
откуда после логарифмирования и перехода к размерному виду
имеем |
|
1 |
|
4 |
|
2 / |
2 |
||||
|
|
ln |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
а |
|
X 0 |
|
|
|
|
|
2)Bi 0 (практически |
Bi 01. ). |
|
|
|
|
|||||
ТП |
Лекция 8 |
Bi |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
При очень малых числах Био внутреннее термическое сопротивление тела намного (более, чем на порядок величины) меньше внешнего сопротивления теплоотдачи.
Вследствие этого интенсивность (скорость) отвода теплоты от поверхности тела намного меньше, чем скорость её распространения внутри тела. Принято говорить, что при этом внешний теплообмен (теплоотдача) – лимитирующая стадия процесса охлаждения (нагревания).
Температура внутри тела в любой момент времени распределена практически равномерно, а расстояние между поверхностью и полюсами, в которых пересекаются касательные к профилям температуры, стремится к бесконечности (профили температуры параллельны оси 0х и друг другу)
X0 Bi1 0 .
ТП |
|
|
|
|
|
|
|
Лекция 8 |
|
||||
|
Bi |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2)
3
При Био 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
n n 1 |
|
|
Bi |
|
0.1; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и все коэффициенты ряда Dn 0, за исключением первого |
|
|
|
|
||||||||||||
D1 |
|
2sin 1 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
||||||
sin cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
1 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для малых μ1 0 функции tg μ1 ≈ μ1 и sin μ1 ≈ μ1, тогда |
|
|
|
|
||||||||||||
характеристическое уравнение принимает вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ctg |
1 |
|
|
1 |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
tg 1 |
|
|
1 |
Bi |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и распределение температуры в пластине описывается уравнениями
cos 1 X exp 12 Fo cos 
BiХ exp Bi Fo ;
Х 0 exp BiFo;
Х 1 cos 
Bi exp Bi Fo .
ТП |
|
exp |
|
BiFo |
|
|
cos Bi |
Лекция 8 |
1, т.к. |
Bi 0 |
|||
Х 1 |
exp BiFo |
|||||
Х 0 |
|
|
|
|
|
|
2)
3
3ТП)0.1 Bi 100.
1
Bi
1
При числах Био порядка 1…10 внутреннее термическое сопротивление тела соизмеримо с внешним, и оба должны учитываться при решении задачи с помощью полученного ранее полного решения для температурного поля
n |
2 Fo , |
||
Dn cos n X exp n |
|||
n 1 |
|
||
|
2sin n |
|
|
Dn |
|
. |
|
n sin n cos n |
|
||
Для Fo 0.3 |
|
||
D1 cos 1 X exp 12 Fo Ф X , Bi exp 12 Fo .
Количество теплоты, отданное пластиной в процессе
охлаждения
Полное количество теплоты Qп, Дж, которое отдаёт (воспринимает)
пластина с внешней поверхности за время от 0 до ∞, равно изменению внутренней энергии (энтальпии) пластины за период
полного её охлаждения (нагревания) |
0 |
ж |
|
|
п |
2 F c |
. |
||
Q |
t |
t |
||
(объём × плотность × уд.теплоёмкость × разность т-р)
Тогда за любой промежуток времени от = 0 до (или от Fo = 0 до
Fo) внутренняя энергия (энтальпия) пластины изменится на |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t tж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Q Q Q 2 F c |
t |
0 |
t |
1 |
|
Q |
1 |
|||||||||
|
||||||||||||||||
п |
1 |
|
|
|
ж |
|
t0 tж |
|
п |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
Q/Qп 1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где Q1 – "остаточная" избыточная энергия пластины в момент , а t , t tж– средняя/ t0 tжпо толщине температура пластины в этот же момент.
ТП |
|
|
|
Q Qп 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
По определению, средняя температура определяется как интеграл по |
|||||||||||
(полу-) толщине пластины |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dХ . |
|||
|
|
|
t |
tж |
|
1 |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
t0 tж |
1 |
0 0 |
|||||||
Подставляя под знак интеграла решение для температурного поля и интегрируя, получим
|
|
|
|
2sin |
2 |
n |
exp n |
2 Fo , |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n sin n cos n |
|
|
||||
|
n 1 |
|
|
|
|||||
что позволяет рассчитать количество теплоты, отданное (полученное) на момент времени . При Fo 0.3 можно ограничиться 1-ым членом ряда; значения коэффициента при экспоненте затабулированы как функция Bi.
При Bi 0 (Bi < 0.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
exp BiFo. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
2n 1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
Fo . |
||
При Bi ∞ (Bi > 100) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2n |
1 |
2 |
2 |
||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||