doc2
.pdf520 |
X. Динамика материальной системы |
из соответствующего материала. Найти коэффициент восстановления, если высота, на которую подскочил шарик после удара, оказалась равной Л2 = 45 см.
Р е ш е н и е
Коэффициент восстановления при ударе равен отношению скорости после удара и к скорости до удара v, т.е.
|
= |
1 Е = |
= 0,95. |
|
v |
V A, |
V50 |
О т в е т : к = |
= 0,95. |
|
|
Задача 44.4
Упругий шарик падает по вертикали с высоты h на горизонтальную плиту, отскакивает от нее вверх, вновь падает на плиту и т.д., продолжая эти движения. Найти путь, пройденный шариком до остановки, если коэффициент восстановления при ударе равен к.
Р е ш е н и е
Путь, который пройдет упругий шарик до остановки,
s - h +2A]+2/j2 + -..+2/i„. |
(1) |
Коэффициент восстановления при ударе (см. рисунок)
к= Ж =>h = k2h,
V А
bi
44. Удар |
|
|
|
|
|
523 |
Согласно закону сохранения количества движения |
|
|
||||
|
|
|
wMvM =ти, |
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
. тЛ |
ти\ _ 12 103-52 |
262 -Ю3 |
(5Л2 f _ т 1q3 |
. Л _ |
6 |
|
|
2 |
2 |
2 |
\262 J |
V |
131 |
150-103-125 = 143 103 (Н-м) = 143 ( к Н - м ) . 131
Работу А2, потраченную на сотрясение фундамента, определим как разность кинетической энергии до удара и энергии, поглощаемой отковываемой деталью:
А2 = |
~А, = 1 2 1 ^ 3 ' 5 2 -143-103 |
6,83 103 (Н • м) = 6,83 (кН • м). |
Рассчитаем коэффициент полезного действия молота |
||
|
4 ^ 1 4 3 - 6 , 8 3 |
|
|
Л, |
143 |
О т в е т : А = 143 (кН • м); А2 = 6,83 (кН • м); л = 0,95.
Задача 44.7
Молот массы щ = 10 кг расплющивает заготовку до нужных размеров за 70 ударов. За сколько ударов эту операцию произведет молот массы т 2 = 100 кг, если приводной механизм сообщает ему такую же скорость, что и первому молоту. Масса наковальни М = 200 кг. Удар считать абсолютно неупругим.
Р е ш е н и е
Из условия равенства поглощаемой энергии (формула (44.44)) при работе молотов в 10 и 100 кг можно записать, что
Л = 70 |
10v2 210v2 l i t |
= N |
lOOv2 |
300У2П00У |
|
210 J |
|
2 |
2 U00 J |
524 |
X. Динамика материальной системы |
откуда рассчитаем, за сколько ударов N расплющит заготовку молот массой 100 кг:
N = 10.
О т в е т : 10 ударов.
Задача 44.8
Найти скорости после абсолютно неупругого удара двух одинаковых шаров, двигавшихся навстречу друг другу со скоростями v, и v2.
Р е ш е н и е
Изобразим положение шаров до удара (см. рисунок).
По формулам (44.19) найдем скорость их первого шара после удара, зная, что тх=т2=т, к = 1:
и, = v, -(1 + к)———(v, + v2) = V, - 2 •—(у, + v2) = —v2 |
|
ni\ +m2 |
2m |
и скорость второго шара после удара |
|
и2 = -v2 +(1 + к)———(V| + v2) = —v2 |
+2 — (Vj + v2) = v,. |
tri\ +m2 |
2m |
Получим, что и| = - v 2 , u2 = v,, т.е. после удара шары обменялись скоростями.
О т в е т : шары после удара обмениваются скоростями.
Задача 44.9
Два одинаковых упругих шара Aw В движутся навстречу друг другу. При каком соотношении между скоростями до удара шар А после удара остановится? Коэффициент восстановления при ударе равен к.
Р е ш е н и е
Изобразим положение шаров до удара (см. рисунок).
526 |
|
X. Динамика материальной системы |
||
По формулам (44.19) определим скорость тела А после удара: |
||||
ИА = V A - ( ' + £ ) |
Ш В |
<УЛ - |
VFL). |
(1 |
|
тА +тв |
|
|
|
По условию — = 3, иА = 0. |
|
|
|
|
vb |
|
|
|
|
Следовательно, согласно формуле |
(1) |
|
|
|
0 = v/4 + — — — ( v a ~ v B ) = — ~й + к ) — — — f — - Г |
|
|||
тА+тв |
vB |
mA+mB\vB |
|
|
или
3 - 3 , 6 — — — =0.
тА +тв
Откуда
тА +тв = 1,2 ^ 2 4 + 1 = 1,2 = > ^ = 0,2 ^ тА = 5.
О т в е т : т в 1т А = 5.
Задача 44.11
Определить отношение масс ш, и /и2 Двух шаров в следующих двух случаях: 1) первый шар находится в покое; происходит центральный удар, после которого второй шар остается в покое; 2) шары встречаются с равными и противоположными скоростями; после центрального удара второй шар остается в покое. Коэффициент восстановления равен к.
Р е ш е н и е
Изобразим положение шаров до удара (см. рисунок).
41УдаР__ Определим по формулам (44.19) скорость второго шара после
удара:
«2 = -V2 |
+ (1 + к)———(v, + v2). |
|
rri\ + т 2 |
С о г л а с н о у с л о в и ю задачи и2 = 0, у, = 0. Т о г д а
0 = - v 2 +(1 + Л ) — — — У 2 .
/И) + т 2
ПОСКОЛЬКУ V2 ^0, то
l + /c = ' ! ? L l ^ = l + n ! 2 ^ n ! 2 = k
/Я] Ш\ ГП\
2) Скорость второго шара после удара
и2 — —v2 + (1 + к)———(V|+V2).
тх +т2
По условию у, = -у2 , и2 = 0. Следовательно,
0 = -у2 |
+(1 + к) |
Щ |
2У2. |
|
|
|
|
|
ту +т2 |
|
|
Так как У2 * 0, то |
|
|
|
|
|
1 = 2(1 + к)——— |
=> |
+ |
т\ |
= — |
=> — = 1 + 2к. |
Ш\ + т 2 |
|
|
ту |
mi |
|
О т в е т : 1 /И) = 2)^ |
= |
\+2к. |
|
|
|
Задача 44.12
Три абсолютно упругих шара с массами mh т2 и т3 лежат в гладком желобе на некотором расстоянии друг от друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, ударяет во второй, покоящийся шар, который, начав двигаться, в свою очередь ударяет в третий, покоящийся шар. При какой величине массы т2 второго шара третий шар получит наибольшую скорость?
44. Удар |
529 |
Задача 44.13
Шар массы т и движущийся поступательно со скоростью vb встречает покоящийся шар массы т2, так что скорость его образует при ударе угол а с линией, соединяющей центры шаров. Определить: 1) скорость первого шара после удара, считая удар абсолютно неупругим; 2) скорость каждого из шаров после удара в предположении, что удар упругий с коэффициентом восстановления к.
Р е ш е н и е |
|
1) Шары совершают прямой удар, тогда |
у |
согласно формулам (44.19) скорость перво- |
|
го шара после удара |
|
Щх = vlx - (1 + к)———(vIx - v^), |
X |
Ш\ + т 2 |
|
где U\x, vlx — проекция на ось х скорости пер- |
|
вого шара соответственно после и до удара |
|
(см. рисунок). |
|
По условию задачи к = 1, v2 =0, следовательно,
и\х = v\ cosa |
—v, cosa = v{ |
cosa |
mx +m2 |
mx +m2 |
|
u\ у ~ |
= - v i sma. |
|
Тогда
2) Скорость первого шара:
utx = v, cosa-(1 +А:)———Vj cosa = гп\ +m2
. ,, |
Щи |
1 |
m, |
-km2 |
- cosa, |
1 - (1 + |
fc) |
— |
=v,— |
|
|
|
nt\ +m2J |
mx +m2 |
|
||
Щу- |
v\y - |
~vi sina. |
|
|
|