86.)Пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид :

Из формулы вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ω0t+φ) с циклической частотой

ипериодом Формула верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела.

Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы

где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, Fτ ≈ –mgsinα ≈ –mgα — возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления Fτ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы) Принимая

при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0 и периодом где введена величина L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника, где l — длина маятника.

Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника

87.)Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Колеблющееся тело может принимать участие в нескольких колебательных процессах, тогда следует найти результирующее колебание, другими словами, колебания необходимо сложить

результирующего колебания будет

формуле амплитуда А и начальная фаза φ соответственно определяются выражениями

Значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2 - φ1) складываемых колебаний

88.)Биения.

Биения — явление, возникающее при наложении двух периодических колебаний, например, гармонических, близких по частоте, выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала.Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот исходных сигналов.

Биения возникают от того, что один из двух сигналов линейно во времени отстаёт от другого по фазе, и, в те моменты, когда колебания происходят синфазно, суммарный сигнал оказывается максимален, а в те моменты, когда два сигнала оказываются в противофазе, они взаимно гасят друг друга. Эти моменты периодически сменяют друг друга по мере того, как нарастает отставание. (Биения звука можно слышать при настройке музыкальных инструментов)

89.)Понятие о представлении сложных периодических колебаний в виде разложения в ряд Фурье по гармоническим колебаниям.

Колебания происходят вдоль одной прямой с разными частотами При сложении гармонических колебаний, происходящих с разными частотами w1 и w2 ( периодами Т1 и Т2) результирующее колебание не будет гармоническим, а будет представлять сложное периодическое движение. Если складываются гармонические колебания с кратными частотами , то период результирующего колебания Т совпадает с периодом Т1 слагаемого наименьшей частоты: Т = Т1 или w = w1 .

приводит к утверждению, обратному сказанному выше и известному как теорема Фурье: любое сложное периодическое движение x(t) = x(t +T) c периодом Т можно представить в виде суммы простых составляющих гармонических колебаний (гармоник). Частоты этих гармоник кратны основной частоте w рассматриваемого периодического процесса. Первая гармоника имеет частоту w = 2p /Т , вторая - 2w , третья - 3w и т.д.

Это утверждение можно записать в виде формулы, представляющей ряд Фурье:

здесь Ак - амплитуды складываемых гармоник, а jк - их начальные фазы. Первая гармоника, имеющая частоту w , обладает амплитудой А1 , и начальной фазой j1 , вторая (с частотой 2w ) имеет амплитуду А2 и начальную фазу j2