7. 1.4. Исследование влияния адди­тивного шума на вероятностные характеристики сп

1.4.1. Настроить модуль №1 схемы моделирования случайных процессов на фор­мирование квазислучайного сигнала из табл. 1.2, а модуль №3 - на формирование шума из табл. 1.1. Внести в отчет гистограммы функции распределения и плотности распределения вероятностей для наблюдаемой аддитивной смеси сигнала и шума, указав соответствующее Вашему индивидуальному варианту отношение сигнал/шум.

1.4.2. Изменяя для бригад с четным номером интенсивность сигнала, а с нечетным - интенсивность шума добиться получения на выходе первого сумматора схемы моделирования смеси с соотношением сигнал/шум h = 1. Получить гистограммы и , внести их в отчет и записать выводы о влиянии аддитивного шума на закон распределение мгновенных значений сигнала.

8. 1.5. Методические указания по определению теоретических законов распределения

1.5.1. При расчете вероятностных характеристик шума следует учитывать, что:

1. разные процессы с весьма отличающимися по виду реализациями могут иметь одно и то же одномерное нормальное распределение, поскольку одномерные вероятностные характеристики определяют лишь свойства реализаций в одном произвольном временном сечении, но никак не регламентируют скорость изменения значений СП во времени;

2. стационарные СП имеют неизменяющееся во времени распределение мгновенных значений, и, следовательно, их функция распределения и плотность вероятности является функцией одного лишь аргументаxкак и у нормальной случайной величины (СВ);

3. функция распределения нормальной СВ не выражается в элементарных функциях и представляется в справочниках, как правило, таблично;

4. таблицы нормального распределения приводятся всегда для стандартной случайной величины, т.е. имеющей нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.

В результате, для получения закона распределения шума с произвольным эффективным значением необходимо найти правило перерасчета табличных значений распределения стандартной нормальной СВ в значения исследуемого шума. Для нахождения этого правила учтем, что произвольную и стандартную_стслучайные величины связывает соотношение

_ст=(1.1)

Если значения, принимаемые величиной _стобозначить через x, а значения СВобозначать через y, то функция, позволяющая определить x по известному y, будет иметь вид

X = ( y ) =(1.2)

Тогда на основе стандартных правил, определяющих изменения законов распределения при функциональных преобразованиях случайных величин, можно записать

. (1.3)

Для получения соотношения, связывающего функции распределения вспомним, что

. (1.4)

Подставляя (1.3) в (1.4) имеем (используя замену переменных)

==

Распределения W_ст(x) и F_ст(x) кратко представлены в табл. 1.4, а возможный вид реализации нормального случайного процесса и его вероятностных характеристик показан на рис. 1.

Таблица 1.4

Распределение стандартной нормальной случайной величины

x	Wст(x)	Fст(x)	x	Wст(x)	Fст(x)
0,0	0,3989	0,5000	2,0	0,0540	0,9772
0,2	0,3910	0,5793	2,2	0,0355	0,9861
0,4	0,3683	0,6554	2,4	0,0224	0,9918
0,6	0,3332	0,7257	2,6	0,0136	0,9953
0,8	0,2897	0,7881	2,8	0,0079	0,9974
1,0	0,2420	0,8413	3,0	0,0044	0,9986
1,2	0,1942	0,8849	3,2	0,0024	0,9993
1,4	0,1497	0,9192	3,4	0,0012	0,9997
1,6	0,1109	0,9452	3,6	0,0006	0,9998
1,8	0,0790	0,9641	38	0,0003	0,9999

1.5.2. Числовые характеристики нормального шума (при произвольной корреляционной функции) равны

M_шум= 0,0 ( В ); D_шум=²_шум ( В²), (1.5)

где _шум– среднеквадратическое отклонение (или, иначе, эффективное значение) шума.

Рис. 1. Вероятностные характеристики нормального шума

1.5.3. Характеристики гармонического сигнала со слу­чайной начальной фазой задается соотношениями

плотность вероятности W_cos(x) =, -U_m ≤ x ≤ U_m;

функция распределения F_cos(x) =

дисперсия D_cos=;эффективное значение_cos=.

1.5.4. Последовательность прямоугольных импульсов со слу­чайной начальной фазой имеет следующие характеристики

плотность вероятности W_rect(x) = 0,5 ·(x+U_m) + 0,5 ·(x-U_m)

функция распределения F_rect(x) =

дисперсия D_rect=;эффективное значение_rect=.

1.5.5. Последовательность треугольных импульсов характеризуется равномерным законом распределения

плотность вероятности W_^(x) =, | x |U_m

функция распределения F_^(x) =

дисперсияD_^= ; эффективное значение_^ = .

Графически все эти характеристики показаны на рис. 2.

Рис. 2. Вероятностные характеристики квазислучайных сигналов

1.5.6. Наиболее просто и наглядно влияние шума на вероятностные характеристики смеси сигнала и шума проявляется применительно к последовательности прямоугольных импульсов, имеющей плотность вероятности

W_rect(x) = 0,5 ·(x+U_m) + 0,5 ·(x-U_m)

Шум характеризуется законом распределения

W_шум(x) =(1.6)

Эти две составляющие смеси, очевидно, статистически независимы друг от друга, поэтому плотность распределения суммы ζ(t) определяется сверткой распределений слагаемых

W_ζ(z) == = 0,5·W_шум(z+Um) + 0,5·W_шум(z-Um). (1.7)

Полученный результат схематично отображен на рис. 3. Как видно из рисунка, искомое распределение является суперпозицией распределений шума, сдвинутых относительно нуляна ±U_m. Анализ "привязки" распределения к оси абсцисс показывает, что его ширина зависит от абсолютных значений интенсивностей сигнала и шума, а формараспределения определяется отношениемсигнал/шум. Оно может задаваться, как отношение эффективных напряжений сигнала и шума, в этом случае говорят об отношении сигнал/шум по напряжению

h = _сигн / _шум; (1.8)

в других случаях выгоднее сопоставлять мощности и говорить об отношении сигнал/шум по мощности

h²=²_сигн / ²_шум. (1.9)

Как следствие статистической независимости сигнала и шума дисперсия смеси определяется суммой дисперсия слагаемых

D_ζ= D_ξ+ D_шум. (1.10)

Рис.3. Аддитивная смесь последовательности прямоугольных импульсов и нормального шума и ее распределение.