20. 3.6. Контрольные вопросы для защиты работы

1. Можно ли в линейных цепях раздельно анализировать прохождение сигнала и шума? Как изменяется форма реализаций широкополосного СП при низкочастотной и полосовой фильтрации?

2. При каких условиях СП на выходе линейной цепи является стационарным? Как влияет амплитудно-частотная характеристикацепи на спектральную плотность мощности и корреляционную функцию выходного СП? Каково влияние на те же свойства СП фазо-частотной характеристики цепи?

3. Каковы возможные изменения энергетических и вероятностных характеристик СП при его прохождении через безынерционнуюлинейную цепь?

4. Может ли увеличиваться дисперсия СП после прохождения через линейную цепь? Может ли уменьшаться? Если "да", то приведите примеры. (Рассмотрите как пассивные, так и активные линейные цепи)

5. В каких случаях при теоретическом анализе допустимо считать шум на входе цепи «белым»? Как влияет изменение центральной частоты полосового фильтра на корреляционную функцию выходного СП, когда на входе действует «белый» шум?

6. Как изменяются вероятностные, энергетические и числовые характеристики нормального СП при его прохождении через линейные цепи?

7. Что называют эффектом нормализации широкополосных СП в узкополосных линейных цепях? Разъясните причины возникновения эффекта нормализации.

8. Для смеси узкополосного полезного сигнала и широкополосного шума объясните качественно, как изменяется отношение сигнал/шум на выходе ФНЧ при уменьшении его верхней граничной частоты?

9. Как рассчитывается одномерная плотность вероятности при функциональном преобразовании СП? Приведите примеры.

10. Каков будет закон распределения СП на выходе квантователя с разным числом уровней, если на его вход подать шум или гармонический сигнал со случайной начальной фазой?

11. Запишите аналитические выражения законов распределения огибающей и фазы узкополосного нормального СП с нулевым матожиданием и рассчитайте их средние и дисперсии.

12..Каким образом на вероятностных характеристиках огибающей и фазы аддитивной смеси узкополосного нормального шума и детерминированного гармонического сигнала отражается изменение амплитуды сигнала при фиксированном уровне шума иизменение уровня шума при фиксированной амплитуде сигнала?

4. Принципы измерения характеристик и параметров случайных процессов

Принципы измерения, используемые в лабораторном практикуме, основаны на известных методах математической статистики [4,5; 6, с. 99-107]. Реализация исследуемого аналогового процесса(t) после дискретизации по времени и квантования по уровню (аналого-цифрового преобразования) представляется в виде цифровой последовательности отчетов x_k, где 0 ≤ k ≤ N (N - объем выборки). При достаточной разрядности АЦП (обычно при числе разрядов n5) эффектами квантования по уровню можно практически пренебречь,рассматривая выборку x_kкак результат дискретизации только по времени. В предположении стационарности и эргодичности иссле­дуемого случайного процесса (СП) все его статистические характеристики можно определить по одной произвольной реализации, наблюдаемой на интервале большой протяженности.

Известно [4, 5], что наиболее качественной оценкой вероятности какого-либо события служит частота, с которой это событие наблюдается в серии независимых экспериментов. Как следствие, оценкой функции распределения случайного процесса F_ξ(x) для произвольного аргумента может служить частота наблюдения в зарегистрированной выборке x_kотсчетов, не превышающих

=, (4.1)

где - количество отсчетов выборки, для которых выполняется неравенство.

Предложить качественную оценку плотности распределения вероятностей СП сложнее, так как определение этой характеристики предполагает, как промежуточный этап, оценку вероятности попадания значений СП в бесконечно малый контрольный интервал значений, но применительно к ограниченной по объемувыборке x_kдостаточно качественная оценка такой вероятности невозможна. По этой причине от строгого соответствия определению при оценке плотности вероятности приходится отказываться и вместо, характеризующей бесконечно малую окрестность точки, рассчитывать лишь вероятности попадания значений СП в некоторый относительно широкий диапазон значений.

Итак, при практических исследованиях аналогом плотности распределения вероятностей выступает гистограмма , для построения которой:

1. в диапазоне возможных значений СП выбирают (относительнопроизвольно) ряд контрольных уровней, разбивая тем самым ось значений СП на ряд смежных участков-колодцев с номерами 0 ≤ j ≤ J, где 0-й колодец соответствует интервалу (-;], колодец с номером J – интервалу [; +), а j-й по счету колодец занимает участок отдо;

2. определяют для каждого колодца количество попавших в него (т.е. удовлетворяющих неравенству≤ x_k≤) отсчетов зарегистрированной выборки процесса(t);

3. рассчитывают безразмерные частоты попаданияотсчетов процесса в разные колодцы гистограммы

=. (4.2)

Пример подобной гистограммы, полученной при исследованиях нормального шума, показан на рис. 9. Обратите внимание, во-первых, что получаемые в соответствии с (4.2) значения даже по единицам измерения отличаются от плотности вероятности, которая, как известно, имеет размерность обратную единицам измерения СП. Во-вторых, получаемая по описанному правилу "столбчатая" зависимость не позволяет контролировать изменения плотности вероятности внутри границ отдельного колодца. Т.е. при построении гистограммы неявно предполагается, что изменения W_ξ(x) в пределах колодца малы, что лишь приближенно соответствует действительности. Тем не менее, главную задачу плотности вероятности подобная оценка выполняет, достаточно наглядно отображая те части всего диапазона потенциально возможных значений, в которые реализации СП попадают наиболее часто.

Рис. 9. Гистограмма плотности распределения вероятностей СП

Оценки математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции находятся по следующим соотношениям:

(4.3)

(4.4)

(4.5)

где x_k - значение k-го отсчета наблюдаемой реализации случайного процесса(t); T - интервал дискретизации процесса.

По аналогии с (3) определяется ковариационная функция

(4.6)

При отсутствии постоянной составляющей (4.5) и (4.6) совпадают. С увеличением объема выборки (N) указанные оценки стремятся к истинным значениям, то есть являются несмещенными и состоятельными[4, 5].

Оценку спектральной плотности мощности можно получить из (4.5) путем дискретного преобразования Фурье корреляционной функции, а можно вычислить по имеющейся реализации непосредственно

, (4.7)

где n - номер рассчитываемой составляющей спектра; F₁- интервал используемой дискретной сетки частот равный F₁= 1 / N·T.