9. Первый замечательный предел.

Рассмотрим функцию . Эта функция при х=0 неопределенна. Рассмотрим  и докажем, что он равен 1. Заметим, что   и . При вычислении  теорему о пределе дроби применять нельзя, так как предел знаменателя равен 0.

Рассмотрим окружность радиуса 1. АОС – центральный угол, обозначим его через х, причем 0<х<.

10.Второй замечательный предел.

Рассмотрим переменную величину x_n=(1+1/n)ⁿ, где n =1,2,3… . Можно доказать, что x_n=(1+1/n)ⁿ возрастает и 2<(1+1/n)ⁿ<3, то есть эта последовательность имеет конечный предел. Этот предел обозначается ‘e’.

Определение. Предел переменной величины (1+1/n)ⁿ при n→∞ называется числом е

.                                                   (7)

Это число е = 2,7182818284…

Мы рассмотрели последовательность (1+1/n)ⁿ, n=1,2,3… При непрерывном изменении переменной х и если х→∞, то и . То есть получаем, что

.                                                 (8)

Этот предел называется вторым замечательным пределом.

Второй замечательный предел можно записать в виде

 .                                                 (9)

Число е – иррациональное число, оно играет очень важную роль в математическом анализе.

Мы рассматривали логарифмическую функцию у=log_ax, а ≠ 1, а > 0, а – основание логарифма. Если основанием логарифма является е, то log_ex = ln x и называется натуральным логарифмом. Функция у = е^х называется экспонентой.

Примеры:

11. Сравнения бесконечно малых функций, основные эквивалентности.

Теорема 1:

Эквивалентные б.м.ф. при x→a:

1)если α(x) и β(x) – б.м.ф., то их разность есть б.м. более высокого порядка малости чем каждое из них;

2)Функция называется эквивалентной если lim(α(x)/ β(x))=1(при x→a).

Теорема 2:

Если разность двух б.м.ф. есть б.м. более высокого порядка малости, чем каждая из них, то эти функции б.м. эквивалентны.

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же x→a величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности). Если , то β — бесконечно малаявысшего порядка малости, чем α. Обозначают β=0(α)или β≺α. Если , то β — бесконечно малаянизшего порядка малости, чем α. Соответственно α =0(β)или α≺β. Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинамиодного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений β=0(α)и α =0(β). Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа. Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеетm-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Основные эквивалентности:

sinx~х при х→0; tgx~х (х→0); arcsinх ~ х (х→0);

arctgx~х (х→0); 1cosx~x²/2 (х→0); е^х-1~х (х→0);

α^х-1~х*ln(a) (х→0); ln(1+х)~х (х→0);

ln(l+х)~х (х→0); (1+х)^k-1~k*х, k>0 (х→0);