2.Сложная функция. Обратная функция. Основные элементарные функции.

Пусть f:Х→U (U=f(x)), U→Y (Y=g(x)). X→U→Y. Для каждого хХ элемент y=g(f(x))Y в соответствие х→ g(f(x)) задает отображение Х в Y (Х→Y) отображается g=f и называется композицией отображения. Если X, Y, U числовые множества, то композиция называется сложной функцией y=g(f(x)).

Пусть y=U², U=sinx, y=sin²x – сложная функции.

Определение 1. Отображения f:X→Y называется инъективным (инъекция) если различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.

Определение 2. Отображение f:X→Y называется сюръективным (сюръекция) если каждому yY является образом некоторого xX, т.е.  такой х, что f(x)=y. Например:

y=sinx, R на [-1,1].

Определение 3. Отображение f:X→Y называется бисктивным если оно является одновременно инъекцией и сюръекцией, например взаимноодназначных выражений.

Определение 4. Функция g:Y→X является обратной к функции f:X→Y, если выполнены следующие тождества:

1) f(g(y)) = y для всех yY;

2) g(f(x)) = x для всех xX.

Для числовых множеств X и Y отображение g называется обратной функцией.

Основные элементарные функции:

Основными элементарными функциями являются пять функций:

1) Степенная y=x^µ, µR;

2)Показательная y=a^x, а>0, a≠1;

3)Логарифмическая y=log_ax, x>0, a>0, a≠1;

4)Тригонометрические y=sinx, y=cosx;

5)Обратные тригонометрические y=arcsin x, x[-1,1],

y=arcos x, x[-¶/2, ¶/2].

К элементарным функциям относятся все функции, получающиеся из основных элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).

В класс элементарных функций попадают:

а) многочлен;

б) рациональная дробь (отношение двух многочленов);

в) tgx=sinx/cosx;

г) arcos x=¶/2-arcsinx, и множество других.

Например, y=sin1/x, y=x²+e^x – элементарные функции.

Если над х кроме 5 вышеперечисленных действий производят еще извлечение корня конечное число раз и в результате получается функция не являющееся рациональной функцией, то функция называется иррациональной. Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций.

Всякая функция не являющаясяалгеброической называется трансцендентной функцией, например 5!,3! – разное кол-во операций.

Гиперболические функции:

1) Гиперболический синус: Sh x=(e^x-e^-x)/2;

2) Гиперболический косинус: Ch x=(e^x+e^-x)/2;

3) Гиперболический тангенс: th x=sh x/ch x;

4) Гиперболический котангенс:cth x=ch x/sh x;

3. Предел числовой последовательности.

Определение 1:

Последовательностью называется функция областью определения которой является множество натуральных чисел(N). Если членами последовательности являются число то последовательность называется числовой f:N→R.

Последовательность задается перечнем всех ее элементов {a_n}_n=1^∞.

Определение 2:

Число aR называется пределом последовательности {x_n}_n=1^∞, если для любого ε>0 найдется такой номер n₀N такой, что для любого n> n₀ выполняется неравенство |x_n-a|< ε. При этом пишут lim x_n=a(при n→∞) или x_n→а и говорят, что последовательность {x_n}_n=1^∞ сходится к числу а.

Свойства:

1) Не всякая последовательность имеет предел;

2) Если последовательность имеет предел, то он единственный;

3) Предел const=const (limc=c).