7. Бесконечно большие функции и их свойства.

Определение: Функция f(x) называется б.б.ф. при x→a или x→∞, lim f(x)= ∞ (при x→a, x→∞). Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого A>0[Обозначим A=max{|m|,|M|}, тогда для ограниченной последовательности имеем |x_n|<=A или –A<=x_n<=A] существует такой номер N, что при всех n>=N выполняется соотношение |x_n|>A

Свойство 1: Пусть функция f(x) б.б.ф., а g(x) такая что g(x)>h>0 в некоторой окрестности т.А, тогда f(x)·g(x) – б.б.ф.

∞·x=∞

Свойство 2: Пусть функция f(x) б.б.ф., а g(x) ограничена в некоторой окрестности т.А, тогда f(x)·g(x) – б.б.ф.

|g(x)|=M(число)

Свойство 3: f(x) – б.б.ф.

1/f(x) – б.м.ф.

1/ ∞ =0

Неограниченные б.б.ф.

Теорема 1: если функция f(x) б.б.ф. при x→a, то она не ограничена [Подчеркнем различие между бесконечно большой и неограниченной последовательностью. В случае бесконечно большой последовательности соотношение |x_n|>A должно выполняться для всех n>=N. Для неограниченности последовательности достаточно, чтобы существовал хотя бы один элемент последовательности, для которого выполняется |x_n|>A. Отсюда сразу следует, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Обратное утверждение неверно.]

Теорема 2: если функция неограниченна, то она необязательно б.б. [Пусть x_n = 1,1/2,3,1/3,5,1/4,..., нетрудно заметить, что данная последовательность состоит из двух составляющих, а именно x_2k-1 = 2k-1, x_2k = 1/(k+1). Данная последовательность неограниченная, так как содержит неограниченную составляющую x_2k-1 = 2k-1, но не является бесконечно большой, так как содержит вторую часть x_2k = 1/(k+1).]

8. Свойства пределов функции.

Определение:

Последовательность называется финально постоянной, если $ AО R и $ N, что для всех n>N x_n = A.

Свойство 1: Пределы конечного числа функции равен сумме пределов, если пределы функции существуют.

1)lim(f(x)+g(x)) (при x→a, x→∞) = lim f(x) (при x→a, x→∞)+ +lim g(x) (при x→a, x→∞);

2) lim f(x)=b₁ (при x→a, x→∞)

lim (f(x)+g(x)) (при x→a, x→∞)=b₁+b₂

lim g(x)=b₂ (при x→a, x→∞)

По первому свойству б.м. (обратная теорема) имеем что: f(x)=b₁+α(x)

g(x)=b₂+β(x)

Следовательно f(x)+g(x)=b₁+b₂+α(x)+ β(x); γ(x)= α(x)+ β(x)

f(x)+g(x)=b₁+b₂+γ(x)=> по I свойству бесконечно малых(прямая теорема), что lim (f(x)+g(x)) (при x→a, x→∞)=b₁+b₂ – бесконечно мало.

lim (sin²x+cos²x) (при x→∞)≠lim sin²x(при x→∞)+lim cos²x(при x→∞)[Таких не существует].

Свойство 2:

Предел произведения конечного числа сомножителей равен произведению пределов этих сомножителей, если последние существуют.

Доказательство для n=2. Пусть ; , тогда u₁=а₁+a₁, u₂=а₂+α₂, где α₁→0, α₂→0 при х→х₀, и u₁·u₂=(а₁+а₂)·(α₁+α₂)= а₁а₂+α₁а₂+α₂а₁+α₂α₁, где       а₁а₂=const, α₁а₂→0, α₂а₁→0, α₂α₁→0 при х→х₀. По теореме о связи функции с ее пределом будем иметь, что

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Свойство 3:Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

.

Свойство 4: Если между соответствующими значениями функций u(x), v(x), ω(x) выполняются неравенства u(x)≤v(x)≤ω(x), при этом u(x), ω(x) при х→х₀ стремятся к одному и тому же пределу а, то функция v(x) при х→х₀ стремится к этому же пределу.

Свойство 5: Если функция у=f(x) принимает неотрицательные значения, то есть f(x)≥0, и имеет предел равный а, то этот предел тоже неотрицателен, то есть а ≥ 0.

Свойство 6: Если между соответствующими значениями функций u(x), v(x), имеющих предел при х→х₀, выполняется неравенство u(x)≤v(x), то .