4. Предел функции. Односторонние пределы.

Рассмотрим функцию f(x), определённую на некотором множестве X, которое имеет предельную точку x₀ (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать). Значение A называется пределом (предельным значением) функции f(x) в точке x₀ , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументовx, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.

Определение 2:

Пусть числовая функция f(x) задана на множестве X, в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка[-,]. В этом случае числоA называется пределом функции f(x) на бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное числотакое, что для всех точек, превышающихпо абсолютному значению, справедливо неравенство |f(x)-A|< ε.

Определение 3:

lim f(x)=∞ (при x→a)

Говорят, что предел функции f(x) при x→a.

Если для любого M найдется такое (М), что для всех |x-a|<,f(x)>M.

Определение 4:

lim f(x)=∞ (при x→∞)

Говорят, что предел функции f(x) при x→∞, если для любого M найдется такое N(M), что для всех | x| >M будет выполняться неравенство |f(x)|>M.

Односторонние пределы:

Очевидно, что x стремясь к а остается либо больше а, либо меньше а. В этом случае говорят об односторонних пределах

Определение:

В называется пределом функции f(x) при x→a справа, если x→a остается больше (правосторонний предел):

Аналогично определяется предел слева:

5. Непрерывность функции. Классификации точек разрыва. Теорема о непрерывных на отрезке функциях.

Непрерывность функции:

Определение 1:

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности U(а) и x<=a и называется непрерывной слева[lim f(x)=f(a) (при x→a)].

Определение 2:

Функция f(x) определенная в некоторой окрестности U(a) и x>=a называется непрерывной справа, если: lim f(x)=f(a) (при x→a).

Определение 1:

Функция называется непрерывной на (a,b) если она непрерывна к каждой точке этого интервала.

Определение 2:

Функция называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна в каждой внутренней точки (a,b).

Классификация точек разрыва.

1. Если f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀), то в точке  функция непрерывна.

2. Если f(x₀-0)=f(x₀+0)¹f(x₀), или в точке x₀  функция вообще не определена, то при  функция имеет устранимый разрыв.

3. Если f(x₀-0) и f(x₀+0) принимает конечные значения и f(x₀+0)¹f(x₀ - 0), то в точке  функция имеет разрыв первого рода (скачок).

4. Если хотя бы один из односторонних пределов f(x₀ -0) или f(x₀+0) равен ±¥, то в точке функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

 

6. Бесконечно малые функции и их свойства.

Определение:

α(x) является бесконечно малой при x→a или к ∞, если для любого ε>0 существует δ.

Теорема: если функция f(x), где b – конечное число, а α(x) – бесконечно малая при x→a f(x)=b+ α(x), то lim f(x)=b (при x→0).

Представим f(x)=b+ α(x) в следующем виде α(x)=f(x)-b => |f(x)-b|=|α(x)|< ε для всех xU(a, δ). Для всех xU(a, δ), |f(x)-b|< ε, lim f(x)=b (при x→a). Если lim f(x)=b (при x→a, x→∞) то f(x)=b+ α(x), α(x) – бесконечно малая функция.

Свойства:

1) Произведение бесконечно малой функции  α(x)  при  x→a и функции  f(x), ограниченной в некоторой  δ ₁-окрестности точки  a, есть функция бесконечно малая.

Доказательство: Функция  f(x)  является ограниченной в некоторой окрестности точки  a  и, следовательно, существует такое число  B > 0, что |f(x)|<b, для всех x удовлетворяющих условию |x-a|< δ₁. Поскольку функция  α(x)  является бесконечно малой при  x→a, то для любого произвольно малого числа  ε > 0 существует такое число  δ ₂, что неравенство | α(x)|< ε/2 выполняется для всех  x, удовлетворяющих условию |x-a|< δ ₂

Выберем из чисел  δ ₁  и  δ ₂  наименьшее и обозначим его символом  δ. Тогда условие |x-a|< δ

является более сильным, чем условия |x-a|< δ₁ и |x-a|< δ ₂ и поэтому влечет неравенства |f(x)|<b и |α(x)|< ε/2. Таким образом, для любого произвольно малого числа  ε > 0  выполняется неравенство

для всех  x  из  δ-окрестности точки  a.

2) Сумма конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая:

Доказательство. Пусть  ε > 0  – произвольно малое число;  α(x) и β(x)– бесконечно малые функции при  x→a. Тогда существуют такие положительные числа  δ₁  и  δ ₂, что условия

|x-a|< δ₁ и |x-a|< δ₂ влекут за собой соответствующие неравенства |α(x)|< ε/2 и |β(x)|< ε/2. Если δ=min{ δ_1, δ₂}, то условие  |x-a|< δ  перекрывает оба условия |x-a|< δ₁ и |x-a|< δ₂ и, следовательно,

Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

3) Если при x→x₀ функция α(x) является бесконечно малой величиной, а функция f(x) – ограниченной, то их произведение α(x)·f(x) есть величина бесконечно малая при x→x₀.

Доказательство. Так как α(x) бесконечно малая величина, то.С другой стороны, еслиf(x) ограниченная функция, то |f(x)|≤C. Поскольку α(x) может быть меньше любого наперед заданного положительного числа, то α(x)< ε/C.Обозначим γ(x)= α(x)·f(x). Отсюда следует, что,то естьγ(x)= α(x)·f(x) является бесконечно малой величиной, что и требовалось доказать. Это правило тем более справедливо, если перемножаются бесконечно малые величины.

4) Произведение конечного числа бесконечно малой функции есть функция бесконечно малая:

|α(x)| и |β(x)| - бесконечно малые, то |α(x)|· |β(x)| - бесконечно малые.

Следствие: если α(x) – бесконечно малая функция, то α(x)ⁿ тоже бесконечно малая.

Определение 1: Б.м. α(x) называется б.м. более высокого порядка малости чем β(x), если lim(α(x)/ β(x))=0 (при x→a, x→∞).

α(x)=0[β(x)] – математическая запись вышеперечисленного.

Определение 2: Б.м. α(x) называется одного порядка малости из функции β(x), если lim(α(x)/ β(x))=a (при x→k, x→∞), где а≠0 и а≠∞.

Определение 3: Б.м. α(x) и β(x) называется эквивалентным б.м. если lim(α(x)/ β(x))=1 (при x→k, x→а).

Определение 4: Если lim(α(x)/[ β(x)]ⁿ)=A_≠∞^≠0, то α(x) б.м. порядка n от β(x).