1.Множества. Функции. Логическая символика.

Под множеством понимается любая совокупность объектов, называемых элементами множества. В математике первичными понятиями являются понятия множества и элемента множества. Множества обозначают большими латинскими буквами A, B, ..., а их элементы – малыми a, b, ... Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут aA. В противном случае пишут aA.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A является элементом множества B. Пишут AB или BA и говорят, что множество A включено во множество B или B включает A.

Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывают это так: A=B.

Включение AB не исключает равенства этих множеств. Если же AB, но AB и A, то A называют собственным подмножеством множества B.

Если множество A включено во множество B или совпадает с ним, то пишут AB или BA.

Суммой(объединением) двух множеств А и В называется множество С, которое включает в себя все элементы все элементы А и В. Пишут С=А+В.

Разностью множеств А и В называют множество С, содержащее все элементы А, не принадлежащие В. Пишут С=А-В, или С=А\В.

Произведением(пересечением) множества А и В называют множество С, содержащее все элементы, принадлежащие А и В. Пишут С=А*В.

Прямым(декартовым) произведением двух множеств А и В называют множество АхВ всех упорядоченных пар А= {1,2,3}, В={2,3}, АхВ={12,13,22,23,32,33}.

Различают множества конечные, содержащие конечное число элементов, и бесконечное, число элементов которых бесконечно. Если всякому элементу хА по некоторому правилу поставлен в соответствие единственный элемент yВ и, наоборот, по тому же правилу всякому элементу множества В поставлен в соответствие единственный элемент множества А, то говорят, что установлено взаимно однозначное соответствие между элементами элементами множеств А и В. Такие множества называются эквивалентными. Пишут А~В.

Определение 1. Всякое бесконечное нумерованное множество называется числовой последовательностью. Обозначают ее так {х_n}.

Определение 2. Число М называют точной верхней гранью множества действительных чисел Е, если выполняются требования: 1) Всякому хЕ (х≤М);

2)Всякому ε>0  х₀Е (М- х₀< ε).

Определение 3. Окрестностью точки х₀ называют любой интервал содержащий это точку. Если точка х₀ является серединой этого интервала, то она называется центром окрестности, длина ε половины этого интервала называется радиусом окрестности, а сама окрестность называется ε – окрестностью точки х₀ и обозначается O(х₀, ε). Окрестностью бесконечно удаленной точки называют множество всех таких точек, что |x|> ε. Обозначают O(∞,ε).

Функции:

Если для каждого хХ по определенному правилу выбран элемент yY то говорят что задана функция (отображение) f:X→Y. Элемент х называется аргументом функции f, а y значением функции. Множество X называется ООФ, а множество всех элементов уY для которых  хХ такси что y=f(x) называется множеством значений функции f.