5. Минимизация потенциала механической смеси фаз

Выберем в качестве независимых переменныхпеременную изm величин. При известныхуравнения (59) и

(62) представляют систему линейных уравнений относительно концентраций элементов в фазах. Эта система уравнений линейно зависима относительно неизвестных концентраций, входящих в нее. Чтобы сделать ее линейно независимой, необходимо исключить одно уравнение. Для определенности всегда будем исключать первое уравнение из системы (59). Обратим внимание на то, что каждое уравнение системы (59) получается, если просуммировать неизвестные, входящие в один и тот же столбец системы уравнений (62) и приравнять эту сумму единице. Номер столбца в (62) соответствует номеру фазы. При определенном выборе независимых переменных это свойство можно использовать для решения системы уравнений (59) и (62), не прибегая к методу решения систем линейных уравнений с помощью определителей. В системе уравнений (59) и (62) после устранения первого уравнения в (59) осталось линейно независимых уравнений и

неизвестных концентраций. Число переменных, которые можно свободно изменять в системе уравнений (59) и (62), равноПодсчитаем, сколько переменных входит в систему уравнений (59) без первого уравнения.

(63)

Число переменных в системе (63) равно , а число

свободных независимых переменных равно. Это число

переменных в точности совпадает с числом независимых переменных системы уравнений, состоящей из объединения систем (59) и (62).

Выберем в (63) за свободные переменные (т.е. переменные, которым при численном решении задаются некоторые определенные значения) все переменные кроме переменных с / равным единице. Значения этих зависимых переменных определим из уравнений (63)

(64)

В правую часть уравнений (64) входят свободные переменные, которым в ходе минимизации придаются конкретные численные значения. Вместе с С и эти переменные образуют /-ый столбец уравнений (62). Таким образом, все столбцы в уравнении (62) кроме первого столбца - это просто заданные числа и могут быть перенесены в правую часть уравнения.

(65)

В правую часть (65) входят свободные переменные и переменные С_1Ь их значения вычисляются из системы уравнений (64).

Доля - ой фазы определяется из выражения.(66)

Выражения (64),(65) и (66) являются решением уравнений (58), (59) и (62) баланса вещества в системе при известном значении свободных переменных . (67)

Таким образом, зависимые переменные по концентрации, значения которых нужно находить из закона сохранения вещества в системе при произвольном его перераспределении между фазами и внутри фаз, лежат в первой строке и первом столбце матрицы системы уравнений (62), независимые лежат вне этой области. При таком выборе (67) свободных переменных, по которым идет минимизация потенциала (61), оставшиеся переменные вычисляются из (64),(65) и (66) , обеспечивая закон сохранения вещества.