Для тех, кто не боится математики

Простая производственная функция, которой соответствует рис. 7-9, может быть записана как Q = f(L) при заданныхK иt (максимально возможный выпуск,Qявляется функцией количества труда,Lпри заданных фиксированных количествах капитала и при данных технологиях,t).

Примером функции, которая вначале растёт, а потом понижается (вначале отдача от переменного фактора растёт, а потом падает), можно взять: Q =100L² – 20 L³.

Соответственно, MP_L– первая производная функции общего продукта (ТР), то естьQ:MP_L = dQ/dL =200L – 60L². Тогда средний продукт трудаAP_L=Q/L= 100L– 20L².

Найдём при каком значенииLпроизводственная функция достигает максимума. Приравняем первую производную функции Q = f(L)к нулю, полагая, что вторая производная – отрицательная величина:MP_L = 200L – 60L² = 0. ОтсюдаL = 3,33 иQ = 370,37. Далее убедимся, что приL = 3,33 d²Q/dL² = 200 – 120L меньше нуля.

Определим, в какой точке предельный продукт труда MP_L достигает максимума. Для этого приравняем первую производную функцииMP_L к нулю, полагая, что вторая производная отрицательна:dMP_L/dL = 200 – 120L = 0;L = 1,67, аQравен185,74. При этомd²MP_L/dL² = -120.

Найдём максимальное значение среднего продукта. Для этого приравняем первую производную функции среднего продукта к нулю (проверив, чтобы вторая производная была меньше нуля). Максимум AP_Lдостигается при:dAP_L/dL = 100 – 40L = 0. ТогдаL = 2,5 и Q = 312,5 (при этом d²AP_L/dL² = - 40 < 0).

Покажем связь между средним и предельным продуктом. Для этого определим наклон кривой среднего продукта:

Это означает, что

1. AP_L растёт с увеличениемLи что наклон кривой среднего продукта,dAP_L/dL положителен, покаMP_L > AP_L.

2. AP_L понижается с увеличениемLи что наклон кривой среднего продуктаdAP_L/dL отрицателен, покаMP_L < AP_L.

3. AP_L достигает максимума, и что наклон кривой среднего продукта,dAP_L/dL равен нулю, когдаMP_L = AP_L.

В нашем примере AP_L достигает максимального значения приL = 2,5иAP_L= 312,5/2,5 = 125. Но приL = 2,5 предельный продукт труда,MP_L = 200L – 60L² = 125 также. Это не удивительно, так как когдаAP_L достигает максимального значения dAP_L/dL = 0. Следовательно: (MP_L - AP_L)/ L =0 и MP_L= AP_L.

--------------------------------------------------------------

По мере увеличения переменного фактора значения среднего и предельного продуктов будут изменяться. Начальная, первая стадия характеризуется ростом производительности переменного фактора, АР_L. На этой стадии рост совокупного продукта сопровождается опережающим по отношению к среднему ростом предельного продукта, который достигает своего максимума в точке А'. Затем предельный продукт начинает снижаться, а средний продукт продолжает расти, достигая максимума в точке В', где он равен предельному продукту.

На второй стадии, после точки В' производительность переменного фактора, АР_Lснижается. Но несмотря на снижение и предельного, и среднего продуктов, общий продукт продолжает расти, достигая своего максимума в точке С' при нулевом значении предельного продукта.

На третьей стадии, после точки С' при дальнейшем увеличении переменного фактора предельный продукт становится отрицательным и совокупный продукт начинает уменьшаться. Средний продукт продолжает снижаться.

Рациональный производитель никогда не будет действовать на первой и третьей стадиях. Понятно, почему фирма не будет работать на третьей стадии: она характеризует технологическую неэффективность. Возьмите любую точку на кривой ТР правее точки С (рис. 7-8), и вы убедитесь, что можно выпускать столько же продукции, уменьшая количество переменного фактора и не увеличивая при этом количества другого (количество капитала фиксировано). Поскольку производственная функция не допускает неэффективного использования факторов, эта стадия выходит за рамки технологической эффективности и не является частью производственной функции.

Не совсем ясно, зачем фирме переходить на вторую стадию, где средний продукт, то есть производительность труда уже снижается. Не лучше ли ей оставаться на первой стадии, на которой производительность труда растёт?

Дело в том, что изменение объёма продукта является результатом взаимодействия всех факторов производства. Несмотря на то что на второй стадии производительность переменного фактора снижается, увеличение его применения способствует росту отдачи от фиксированного фактора. На второй стадии производительность капитала продолжает расти – ведь совокупный продукт увеличивается, а объём применяемого капитала остаётся тем же (производительность капитала достигает максимума в точке С (С' ). Поэтому общая производительность факторов на второй стадии продолжает расти. Фирма найдёт оптимальный уровень использования переменного фактора, L^*в какой-то точке на второй стадии, в которой рост производительности фиксированного фактора перестанет перекрывать снижение производительности переменного фактора.

Оптимальной с точки зрения технологической эффективности производства является, поэтому, вторая стадия, и фирма должна использовать такое количество переменного фактора, которое обеспечивает ей нахождение в рамках этой стадии. Если спрос на продукцию фирмы таков, что не позволяет ей выйти на вторую стадию, то она должна стимулировать спрос на свою продукцию или использовать излишние производственные мощности для производства другой продукции.

3. Производственные возможности в долгосрочном периоде: эффекты масштаба

Рассмотрим долгосрочный период, в котором все факторы являются переменными. Особый интерес представляет случай, когда изменяется масштаб производства, то есть факторы изменяются одновременно и в одинаковой пропорции. В зависимости от результата различают три эффекта, или три типа отдачи от масштаба: 1) постоянная; 2) растущая; 3) убывающая.

Если одновременное и равное процентное изменение в использовании всех факторов ведёт к аналогичному процентному изменению в выпуске, то производственная функция демонстрирует постоянную отдачу от масштаба. ЕслиQ =f(L,K,T)при заданной технологииt,гдеL, K иT– объёмы труда, капитала и природных ресурсов соответственно, аc– коэффициент, показывающий во сколько раз изменился масштаб производства, тоcQ = f(cL,cK,cT)при заданнойt. Левая часть этого уравнения отражает наше предположение, что выпуск изменится пропорционально масштабу. Правая же часть показывает, каким действительно будет выпуск после изменения масштаба.

Например, производственной функции Q = f(K,L) = 10K + 5Lсвойственна постоянная отдача от масштаба. Докажем это. Предположим, что физический объём каждого фактора одновременно увеличился всраз. Тогда мы вправе предположить, что выпуск тоже увеличится вс раз и составитсQ = с f(L,K,T)= с(10K + 5L). Проверим: f(сK,сL) = 10(сK) + 5(сL) = с(10K + 5L).Предположение подтвердилось. Если, к примеру, масштаб производства увеличился на 20 % (с =1,2), то и выпуск возрастёт на 20 % , или в 1,2 раза.

Если одновременное и равное процентное изменение в использовании всех факторов ведёт к большему в процентном отношении изменению в выпуске, то производственная функция демонстрирует растущую отдачу от масштаба. ЕслиQ =f(L,K,T)при заданной технологииt,гдеL, K иT– объёмы труда, капитала и природных ресурсов соответственно, аc– коэффициент, показывающий во сколько раз изменился масштаб производства, тоcQ < f(cL,cK,cT)при заданнойt. Если масштаб производства увеличится на 20 % (с =1,2), то выпуск при растущей отдаче от масштаба может возрасти, к примеру, на 50 % , или в 1,5 раза.

Например, производственная функция Q = f(K,L) = K²L, демонстрирует растущую отдачу от масштаба. Докажем это. Предположим, что физический объём каждого фактора одновременно увеличился всраз. Мы предполагаем, что выпуск тоже увеличится вс раз и составитсQ = с (K²L). Проверим: f(сKс,L) = (сK)²сL = с²K²сL = c(с²K²L).Нос(K²L) < c(с²K²L).Наше предположение не подтвердилось: выпуск увеличился в большей степени, чем масштаб производства. Следовательно, в данном случае мы имеем дело с растущей отдачей от масштаба.

Если одновременное и равное процентное изменение в использовании всех факторов ведёт к меньшему в процентном отношении изменению в выпуске, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу от масштаба. ЕслиQ =f(L,K,T)при заданной технологииt,гдеL, K иT– объёмы труда, капитала и природных ресурсов соответственно, аc– коэффициент, показывающий во сколько раз изменился масштаб производства, тоcQ > f(cL,cK,cT)при заданнойt. Если масштаб производства увеличится на 20 % (с =1,2), то выпуск при растущей отдаче от масштаба может возрасти, к примеру, на 10 % , или в 1,1 раза.

Например, производственная функция Q = f(K,L) = 14/L – 20/Kдемонстрирует убывающую отдачу от масштаба. Докажем. Предположим, что физический объём каждого фактора одновременно увеличился всраз. Мы предполагаем, что выпуск тоже увеличится вс раз и составитсQ = с(14/L – 20/K). Проверим: f(сK,сL) =14/сL – 20/сK = 1/с(14/L – 20/K).

Но с(14/L – 20/K) > 1/с(14/L – 20/K). Наше предположение не подтвердилось: выпуск увеличился в меньшей степени, чем масштаб производства. Следовательно, в данном случае мы имеем дело с убывающей отдачей от масштаба.

В экономической теории часто используется производственная функция Кобба-Дугласа (названа по имени экономиста П. Дугласа и математика Ч. Кобба). Это делается не потому, что она лучше чем другие функции описывает реальное производство, а потому, что она имеет ряд удобных для анализа математических свойств. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид: Q(L,K,T)= AL^XK^YT^Z, гдеА- некое число- константа. Возьмём функцию, у которой сумма степеней равна единице:X+Y+Z= 1. Тогда умножение всех факторов на одинаковый множительсприведёт к увеличению выпуска всраз:

Q(cL,cK,cT) = A(cL)^X(cK)^Y(cT)^Z = Ac^(X+Y+Z)L^XK^YT^Z = cQ(L,K,T)

Таким образом, если сумма степеней в функции Кобба-Дугласа равна 1, то эта производственная функция демонстрирует постоянную отдачу от масштаба. Нетрудно также доказать, что если X+Y+Z< 1, то мы имеем функцию с убывающей отдачей от масштаба. Если жеX+Y+Z> 1, то функция показывает растущую отдачу от масштаба. Так, если производственная функция имеет вид: Q = 100(K^0,5L^0,6), то ей свойственна растущая отдача от масштаба.

Действие эффекта масштаба связано исключительно с долгосрочным периодом, так как предполагает изменение всех факторов производства. Поэтому его характер не обусловлен ни действием закона убывающей отдачи (все факторы являются переменными), ни интенсивностью использования какого-то отдельного фактора (соотношение факторов не меняется). Причиной, обусловливающей тот или иной тип эффекта масштаба, является воздействие организационного фактора, который оказывает разное влияние на результаты производства при разных масштабах производства. Законов, регулирующих направленность действия эффекта масштаба, не существует и определение характера эффекта масштаба возможно только путем эмпирических наблюдений.

В качестве факторов, способствующих росту отдачи от масштаба, можно выделить такие, как:

• специализация труда;

• действие закона пропорций (см. пример и рис.7-1, приведённые в начале темы: при одновременном увеличении в 2 раза мощности насоса и диаметра трубы объём перекачиваемой нефти возрастает с 43 тыс. до 185 тыс. баррелей в сутки, то есть в 4,3 раза. Объяснение: площадь сечения трубы, влияющая на пропускную способность, увеличивается более, чем в два раза);

• большие возможности применения новых технологий и техники, которые нецелесообразны при небольших масштабах производства.

Главный фактор, противодействующий росту эффекта от масштаба, это - возрастание трудностей управления, контроля и координации. Может играть роль и рост транспортных расходов и затрат по сбыту.

Поскольку характер и длительность действия эффекта масштаба обусловлена особенностями технологии, то для каждой отрасли будет характерен свой оптимальный масштаб производства. Как правило, растущая отдача наблюдается при небольших масштабах производства, затем с расширением масштабов, возможно, следует постоянная отдача, и наконец, её сменяет падающая отдача (см. рис. 7-10).

Сохранение неизменности соотношения количества факторов производства для любого уровня выпуска позволяет проследить эффект масштаба на карте изоквант. Когда мы идём вверх по лучу 0R, пропорции, в которых изменяются количества факторов, во всех точках постоянны (5K: 4L). Поэтому, если при одной и той же приросте объема выпуска (у нас он равен 30 ед.) изокванты сближаются, это свидетельствует о растущей отдаче от масштаба. На рис. это движение из точки А в точку С – масштаб производства увеличивается в 2 раза, а выпуск в 3 раза. Если изокванты сохраняют постоянный шаг (от точки С до точки Е) – то имеет место постоянная отдача от масштаба: и объём факторов и выпуск увеличиваются на этом отрезке в 1,67 раза. Если изокванты расходятся, как от точки Е до F, то отдача от масштаба снижается (объём факторов увеличился в 1,4 раза, а выпуск в 1,2 раза.

14