ли нейные пространства

i 1,3 . Расписывая скалярные произведения, получим три уравнения относительно координат y1 , y2 , y3 , y4 вектора y

y1 y2 y3 2 y4 0

5y1 y82 2 y3 3y4 0 3y1 9 y2 3y3 8y4 0

Совокупность решений этой системы и образует ортогональное дополнение. За базис в L можно принять любую фундаментальную систему решений. Например, вектор 2, 1, 1, 0 T .

2. Линейное подпространство F E4 задано уравнениями

2x1 2x2 x3 2x4 0 2x1 4x2 2x3 3x4 0

Требуется найти уравнения, которые задают ортогональное

удовлетворяют два линейно независимых вектора 2, 2,1, 2 T и

2, 4, 2, 3 T , которые образуют коэффициенты системы уравнений, задающей F. Далее, dim E4 4 . Ранг системы равен 2. Значит dim F 2 и, так как E4 F F , то dim F 2 . Поэтому

найденные векторы можно принять за базис в F , и F есть линейная оболочка данных векторов. Далее задача решается так же как в примере из § 3. Дословно повторяя решение, получим следующую систему уравнений

x1 2x3 0

x2 2x3 2x4 0

которая и задает F .

5.3. Проектирование вектора на подпространства

Пусть En L L . Тогда всякий вектор x En можно представить в виде x g h , где g L и h L . Вектор g называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство L,

31

а вектор h называется ортогональной составляющей вектора x .

Пусть z L и x, y — расстояние между векторами x, y , тогда

x, y inf x, z

z L

Таким образом, ортогональная проекция есть ближайший к x вектору подпространства L. Часто используются следующие обозначения g prL x , h ortL x .

Укажем в заключение как вычисляются координаты вектора

prL x . Пусть e1 , e2 , ..., ek — базис в L. Так как h L , то h ei . Поэтому

x,ei prL x h ,ei prL x,ei

Отсюда имеем, что в случае ортонормированного базиса e1 , e2 , ..., ek

k

prL x x, ei ei

i 1

При ме ры

1. Найти ортогональную проекцию prL x и ортогональную

32

2.Требуется найти расстояние от точки, заданной вектором

x4, 2, 5,1 T до плоскости (линейного многообразия), задан-

ной системой уравнений

L : 2x1 2x2 x3 2x4 9 2x1 4x2 2x3 3x4 12

Расстояние между точкой x и множеством L определится следующим образом

x, L min x, y

y L

Для вычисления расстояния удобно перейти к параметрическому уравнению плоскости. Имеем dim L 2 и поэтому всякий вектор y L представляется в виде

y y0 1e1 2e2

где y0 — фиксированный радиус-вектор точки плоскости; e1 и e2 — базис направляющего линейного подпространства, кото-

рое задается соответствующей однородной системой. Решая уравнение, получим, например,

33

Затем

Проделав для этого аналогичные вычисления и вычислив длину вектора, получим, что x, L orcM x y0 5 .

3. Пусть e1 , e2 , ..., ek — ортонормированная система векторов

евклидова пространства En. Нужно доказать, что для любого вектора x En имеет место неравенство Бесселя

i2 x 2

i 1

сравенством тогда и только тогда, когда k n , т.е. векторы ei

образуют ортонормированный базис в En.

Так как e1 , ..., ek — ортонормированная система, то ее всегда можно векторами ek 1 , ..., en достроить до ортонормированно-

или

34

С равенством тогда и только тогда, когда k n . Исключение составляют случаи, когда x ei i 1, k или когда x принадлежит линейной оболочке векторов ei , e2 , ..., ek .

5.4. Задачи

выражением

x, y ai xi yi

i 1n

где ai 0 .

2. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов:

а)

странства L, натянутого на векторы:

35

5. Линейное подпространство L задано уравнениями

2x1 x2 3x3 x4 0 3x1 2x2 2x4 0 3x1 x2 9x3 x4 0

Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение L .

6.Показать, что задание линейного подпространства L про-

странства En и его ортогонального дополнения L в ортонормированном базисе связаны так: коэффициенты линейно независимой системы уравнений, задающей одно из этих подпространств, служат координатами векторов базиса другого подпространства.

7.Доказать, что

Найти ортогональную проекцию prL x и ортогональную составляющую ortL x вектора x на линейное подпространство L.

8. x 5, 2, 2, 2 T , а L натянуто на векторы

a1 2,1,1, 1 T ; a2 1,1, 3, 0 T , a3 1, 2, 8,1 T

9. x 7, 4, 1, 2 T , а L задано системой уравнений

данного системой уравнений

36

x1 2x2 x3 x4 1 x1 3x2 x3 3x4 2

ЛИТЕРАТУРА

1.Воеводин В. В. Линейная алгебра. — М.: «Наука», 1974.

—400 с.

2.Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. — М.: «Наука», 1974. — 250 с.

3.Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.

—М.: «Наука», 1970. — 355 с.

СОДЕРЖАНИЕ

37

38