Теор_курс дифуры и ряды

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интервал сходимости ряда (2.27) –

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

883.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

		∞ 1
	При x = 0 получим ряд ∑			, он сходится как обобщен-
	При x = 0 получим ряд ∑			, он сходится как обобщен-
		n=1n2
ный гармонический, α = 2 >1 . При x = −2 получим ряд
∞	(−1)n			∞	1
∑		, так как ряд из модулей	∑			сходится, то ряд
n =1	n2		n=1n2
∞	(−1)n
∑		сходится абсолютно. Итак, область сходимости –
∑	n2	сходится абсолютно. Итак, область сходимости –
n =1	n2
(− ∞;−2] [0;+∞).

Ответ: (− ∞; − 2] [0; + ∞).

2.2.2.* Равномерная сходимость функционального ряда

На области сходимости функциональный ряд сходится к своей сумме, но для того, чтобы выполнять различные действия над рядом, устанавливать свойства суммы ряда, часто требуются более жесткие условия, чем просто сходимость. Одно из этих условий – равномерная сходимость функционального ряда.

Определение 2.11. Функциональный ряд (2.21) называется

равномерно сходящимся на сегменте [a,b], если для любого сколь угодно малого ξ > 0 существует номер N такой, что при

всех n ≥ N и любого x [a, b]будет выполняться неравенство

S(x)−Sn (x) < ξ .

Замечание. Важным условием в определении является фиксирование одного но-

мера N и для n ≥ N , и для x [a, b]. Геомет-

рически равномерная сходимость означает, что какая бы ни была полоса шириной 2ξ (с

центром – кривой y = S(x)), начиная с номера N , все кривые

y = Sn (x)будут лежать внутри этой полосы (рис. 2.1).

Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости.

Теорема 2.8 (Вейерштрасса). Пусть дан функциональный ряд (2.21) и сходящийся числовой ряд

a1 + a2 +... + an +...

(2.24)

с положительными членами, причем для любого n N и любого

x [a; b]

выполняется

un (x)

≤ an . Тогда ряд (2.21) является

равномерно сходящимся

на [a

; b].

Определение 2.12. Сходящийся числовой ряд (2.24) из тео-

ремы 2.8, удовлетворяющий условию

un (x)

≤ an

при любом n

и любом x [a; b], называется мажорантным для функцио-

нального ряда (2.21).

Пример 2.21. Доказать равномерную сходимость функцио-

∞

нального ряда ∑

на сегменте [0;1].

n=1n

Доказательство. Используем теорему Вейерштрасса. При

любом x [0;1]

≤1,

un (x)

≤

n 5n

Исследуем ряд

∞

∑

(2.25)

n=1n 5n

с положительными членами на сходимость. Так как

an+1

= lim

<1,

lim

= lim

(n +1) 5

n+1

+1) 5

n→+∞

n→+∞ (n

то по признаку Даламбера ряд (2.25) сходится, а также он является мажорантным рядом для функционального ряда. Тогда функциональный ряд сходится равномерно на [0;1]. ■

2.2.3. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости Определение 2.13. Функциональный ряд вида

a0 + a1(x − x0 )+ a2 (x − x0 )2 +... + an (x − x0 )n +... , (2.26)

где x0 , a0 , a1, a2 ,..., an ,... – заданные числа, называется степен-

ным рядом. Числа a0 , a1, a2 ,..., an ,... называются коэффициентами ряда.

При x0 = 0 получим степенной ряд
a0 + a1x +... + an xn +....	(2.27)
Теорема 2.9 (Абеля)
1. Если степенной ряд (2.27) сходится	при некотором

x = x1 , x1 ≠ 0 , то он абсолютно сходится при любом x таком, что x < x1 .

2. Если ряд (2.27) расходится при x = x2 , то он расходится при любом x , для которого x > x2 .

Доказательство. 1. Так как числовой ряд a0 + a1x1 +... + an x1n +...

сходится, то по необходимому условию сходимости ряда

lim a xn = 0 . Тогда по свойству пределов существует число

n→+∞ n 1

M такое, что при любом n an x1n ≤ M . Ряд (2.27) запишем в виде

		x	n	x	n
a0						+....

	+ a1x1		+... + an x1
	x1		x1

Составим ряд из абсолютных величин

a1x1

+... +

an x1n

+... .

(2.28)

+... + M

Ряд M + M

+... является суммой геометри-

ческой прогрессии со знаменателем

, он сходится при

an x1n

n ,

. Учитывая, что для любого n

≤ M

по первому признаку сравнения ряд (2.28) тоже сходится. Тогда ряд (2.27) сходится абсолютно.

2.Предположим противное. Пусть при некотором x3 ,

x3 > x2 , ряд (2.27) сходится. Тогда по доказанному в 1)

ряд (2.27) сходится при x таких, что x < x3 . Получим проти-

воречие с тем, что при x2 (x2 < x3 ), ряд (2.27) расходится по

условию. Значит, ряд (2.27) расходится при любом x , x > x2 . ■

Из теоремы Абеля следует, что интервалом сходимости степенного ряда (2.27) является интервал с центром в начале коор-

динат (− R; R) такой, что в каждой его точке ряд сходится абсолютно, а в каждой точке, лежащей вне отрезка [− R; R], ряд

расходится. В точках x = ±R ряд может сходиться и может расходиться.

Определение 2.14. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (2.27).

Алгоритм нахождения области сходимости степенного ряда (2.27)

1. Применяем признак Даламбера или радикальный признак Коши. Находим

lim

n+1

xn+1

lim

n+1

an xn

n→+∞

или

lim n	an xn	= x lim n	an = c x .
n→+∞		n→+∞

При c x <1 ряд сходится, при c x >1ряд (2.27) расходится.

2. Исследуем ряд при x = ±	1	∞	a	n
	c	. Для рядов ∑			и

		n=1 cn

∞ (−1)n a

∑

используем признаки сходимости.

n =1

Пример 2.22. Найти область сходимости ряда

∞

∑

n =1(2n +1)4n

Решение. 1. Используем признак Даламбера. Так как

a n =

, an+1

, то

(2n +1)4n

(2n + 3)4n+1

lim

an+1xn+1

= lim

(2n +1)4n

an xn

(2n

3)4n+1

n→+∞

При

<1 или x (− 4;4) исходный ряд сходится и (− 4;4) –

его интервал сходимости.

2. Исследуем сходимость ряда в точках x = ±4 . При x = 4

∞

∞ 1

имеем ряд ∑

= ∑

. Учитывая, что ряд ∑

(2n +1)4n

2n +1

n=1

n=1n

∞

расходится и

lim

= 2 (0;+∞), ряд ∑

расхо-

2n +1

n→+∞

n=1

2n +1

дится по второму признаку сравнения.

∞

(− 4)n

∞

(−1)n

При x = −4 получим ряд ∑

= ∑

, он яв-

2n +1

n=1(2n +1)4n

n=1

ляется знакочередующимся. Проверим выполнение условий

теоремы Лейбница: 3 >

> ... >

> ... и

2n +1

2(n +1)+1

∞

(−

1)n

lim

= 0 , значит, ряд ∑

сходится.

n→+∞ 2n

n=1

Имеем область сходимости исходного степенного ряда – промежуток [− 4;4).

Ответ: [− 4;4).

Замечание. Радиус сходимости R ряда (2.27) можно сразу искать по формулам

R = lim	an	, R =		1	.
R = lim	an+1	, R =			.
n→+∞			lim	n	an
n→+∞			lim		an
			n→+∞

Для обобщенного степенного ряда (2.26) интервал сходимости имеет вид (x0 − R; x0 + R), где R – также радиус сходимости.

Ход рассуждений при нахождении области сходимости сохраняется.

Пример 2.23. Найти область сходимости степенного ряда

(x − 2)+ (2(x − 2))2 +... + (n(x − 2))n +... .

Решение. Имеем обобщенный степенной ряд вида (2.26) с x0 = 2 . Для отыскания радиуса сходимости используем форму-

лу R = lim	1	, получим R = lim	1	= lim 1	= 0 . То-
n→+∞ n	an	n→+∞ n	an	n→+∞ n
гда интервал сходимости (x0 − R; x0 + R) выражается в точку
x0 = 2 .
Ответ: область сходимости – число 2.

2.2.4.* Непрерывность суммы, дифференцирование и интегрирование функционального ряда

Для функциональных рядов, равномерно сходящихся на сегменте [a; b], имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.10 (о непрерывности суммы ряда). Если функ-

циональный ряд u1(x)+ u2 (x)+... + un (x)+... (2.21) сходится равномерно на сегменте [a; b] к сумме S(x), при любом n функции un (x), n N, непрерывны на [a; b], то сумма S(x) непрерывна на [a; b].

Теорема 2.11 (об интегрировании ряда). Пусть функцио-
нальный ряд (2.21) сходится равномерно на [a; b] к сумме S(x),
при любом n функции un (x) непрерывны на [a; b]. Тогда
∞ x
функциональный ряд ∑	∫un (t)dt сходится равномерно на
n=1α
[a; b], α, x [a; b], причем
∞ x	x ∞	x
∑ ∫un (t)dt	= ∫ ∑un (t) dt = ∫S(t)dt .
n=1α	α n=1	α

Теорема 2.12 (о дифференцировании ряда). Если функ-

циональный ряд (2.21) сходится на сегменте [a; b] к сумме S(x), при любом n функция un (x) непрерывно дифференци-

руема на [a; b] ( u′n (x) непрерывна на [a; b], ряд		∞
руема на [a; b] ( u′n (x) непрерывна на [a; b], ряд		∑u′n (x) схо-
		n =2
∞	∞		′	= S′(x).
дится равномерно на [a; b], то ∑u′n (x)= ∑un (x)				= S′(x).
n=2	n=2

Замечание. Так как степенной ряд на интервале сходимости является равномерно сходящимся, то теоремы 2.11-2.12 формулируются более просто: на интервале сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать, при этом радиус сходимости не меняется.

Теоремы 2.11-2.12 расширяют класс рядов, для которых мы можем найти сумму ряда.

Пример 2.24. Найти сумму ряда

x +	x5	+... +	x4n−3	+....		(2.29)
	5		4n −3		x4n−3

Решение. Общий член ряда (2.29)				un (x)=		. Состав-
					4n −3
ляя ряд из производных u′n (x)= x4n−3
				членов ряда (2.29), полу-
чаем
1 + x4 + x8 +... + x4n−4 +....						(2.30)

Ряд (2.30) является суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем x4 , он сходится при x <1, причем

∞	4n−4	=	1
∑x					. Для степенного ряда (2.29) найдем радиус
∑x			− x4		. Для степенного ряда (2.29) найдем радиус
n=1		1	− x4
сходимости								1
						an		1
				R = lim		an	= lim	4n −3	=1,
				R = lim			= lim		=1,
					n→+∞ an+1		n→+∞	1

4n +1

значит, ряд (2.29) сходится на интервале (−1;1). Через S(x) обозначим сумму ряда (2.29). По теореме 2.12 на интервале сходимости (−1;1)

∑x4n

−4 = ∑u′n (x)

= ∑un (x)=

′

= S′(x).

∞

n=1

′

Получили S (x)= 1 − x4 . Тогда

S(x)=

0∫

2(1 − x2 ) dx

= −

1 − x4

4(1

− x)

4(1 + x)

×ln

1− x

1+ x

arctgx =

1+ x

arctgx .

1− x

Ответ: 14 ln 11 +− xx + 12 arctgx .

Пример 2.25. Найти сумму ряда

1 + 2 3x +... + n3n−1 xn−1 +... .

(2.31)

Решение. Найдем интервал сходимости степенного ряда

(2.31): an = n3n−1 , an+1 = (n +1)3n ,

R =

lim

= lim

n3n−1

an+1

(n +1)3n

n→+∞

−

;

значит, ряд (2.31) сходится на интервале

. Так как

un (x)= n3n−1 xn−1 , то

x∫un (t)dt = x∫n3n−1 tn−1dt = 3n−1 tn

x = 3n−1 xn .

Составим ряд из первообразных для un (x)

x + 3x2 +... + 3n−1 xn +... .

(2.32)

Ряд (2.32) является геометрической прогрессией со знаменате-

лем 3x , его сумма равна

при

<1. Обозначим сумму

−3x

ряда (2.31) через S(x). По теореме 2.11

∞

∞ x

∑3n−1 xn =

∑

∫un (t)dt = ∫S(t)dt .

n=1

n=10

Получили x∫S(t)dt =

. Тогда

1 −3x

′

1 −3x + 3x

S(x)=

−3x)2

(1 −3x)2

−3x

Ответ:

(1 −3x)2

2.2.5. Ряд Тейлора.

Разложение в ряд Тейлора элементарных функций

Пусть функция f (x) определена и имеет непрерывные производные любого порядка в некоторой окрестности точки x0 .


Определение 2.15. Степенной ряд
f (x0 )+	f ′(x	0 )	(x − x0 )+			f ′′(x0 )	(x − x0 )2	+... +
f (x0 )+			(x − x0 )+				(x − x0 )2	+... +
1!		2!
		+		f n (x0 )	(x − x0 )n +...			(2.33)
		+			(x − x0 )n +...			(2.33)
				n!

называется рядом Тейлора для функции f (x) в окрестности точки x0 .

Ряд Тейлора (2.33) не всегда сходится к функции f (x). В общем виде пишут

f (x)~ ∞ f (n )(x0 )(x − x0 )n

n∑=0 n!

(функция f (x) разложена в ряд Тейлора). На необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к функции f (x) указывает следующая теорема.

Теорема 2.13. Ряд Тейлора (2.33) сходится к функции f (x)

в некоторой окрестности точки x0			тогда и только тогда, когда
lim r (x)= 0 для любого x из этой окрестности, где остаточ-
n→+∞ n
ный член из формулы Тейлора
r	(x)=	f (n+1)(x0 + θ(x − x0 ))	(x − x )n+1, θ (0;1).
		(n +1)!
n			0

Пример 2.26. Разложить функцию

f (x)= x4 − 2x3 + 3x2 −1

в ряд по степеням (x −1).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке диф ур

#
30.05.20152.49 Mб32Lectures - 3.pdf
#
30.05.20152.41 Mб55Lecture_on_DE_(full).pdf
#
30.05.2015883.02 Кб34Теор_курс дифуры и ряды.pdf