заочникам / диф ур / Теор_курс дифуры и ряды

32

y(n −2) = ∫(∫f (x)dx + c1 )dx + c2 ,… .

В итоге

33

при x ≠ 0 . Уравнение (1.24) является линейным неоднородным, по методу Бернулли его решение представим

Уравнение u′+ ux = 0 имеет частное решение

3. УравнениеF(y, y′,..., y(n))= 0 , не содержащее явно независимой переменной x.

34

Применим замену y′ = z(y). Тогда

y′′ = (y′)′x = (z(y))′x = z′(y) y′x = z′(y) z(y),

y′′′ = (z′z)′x = z′′ z2 + (z′)2 z ,… .

Порядок дифференциального уравнения понизится на единицу, и оно будет иметь вид F(y, z, z′z,...)= 0 .

Пример 1.18. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ tg y = 2(y′)2 .

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит явно x. Примем y в качестве независимой переменной и выполним

замену y′ = z(y), y′′ = z z′, после чего получим уравнение

ального уравнения. Если z ≠ 0 , то уравнение (1.25) будет дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

1.3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства. Структура общего решения

Определение 1.17. Линейным дифференциальным урав-

нением n-го порядка называется уравнение вида

y(n ) + p1(x)y(n −1) + p2 (x)y(n −2) +... + pn (x)y = q(x),

35

где p1(x), p2 (x),…, pn (x), q(x) – непрерывные на интервале (a, b) функции,

y – неизвестная функция.

Если q(x)≡ 0 на (a, b), то уравнение называется линей-

ным однородным, в противном случае – линейным неоднородным.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго по-

Свойство 1. Если y1 и y2 – два частных решения уравнения (1.26), то y1 + y2 – также решение этого уравнения.

Доказательство. Так как y1 и y2 – решения уравнения

(1.26), то

y1′′+ p1(x) y1′ + p2 (x)y1 = 0 и y′2′ + p1(x) y′2 + p2 (x)y2 = 0 .

Проверим, является ли y1 + y2 решением уравнения (1.26),

выполним подстановку:

(y1 +y2 )″ + p1(x) (y1 + y2 )′ + p2 (x)(y1 + y2 )=

=(y1′′+ p1(x)y1′ + p2 (x)y1 )+ (y′2′ + p1(x)y′2 + p2 (x)y2 )=

=0 + 0 = 0 , т.е. y1 + y2 – тоже решение. ■

Свойство 2. Если y1 – решение уравнения (1.26), c – произвольная постоянная, то c y1 – также решение уравнения

(1.26).

Определение 1.18. Две функции y1 и y2 называются линейно зависимыми на сегменте [a, b], если существует некото-

рое число λ такое, что y1 ≡ λy2 (или y2 ≡ λy1 ) на [a, b]. В противном случае функции называются линейно независимы-

ми.

Функции y1 = x2 и y2 = 2x2 линейно зависимы, так как y2 = 2y1 .

36

Определение 1.19. Определителем Вронского или врон-

ставленный для решений y1 и y2 линейного однородного диф-

ференциального уравнения (1.26), не равен нулю при некотором значении x = x0 на сегменте [a,b], где p1(x) и p2 (x) непре-

рывны, то W(y1, y2 ) не обращается в нуль ни при каком значении

Замечание. Если найдется x0 [a, b] такое, что

W(y1, y2 )= 0 , то W(y1, y2 )≡ 0 на [a,b].

Свойство 4. Если решения y1 и y2 уравнения (1.26) линейно независимы на сегменте [a,b], то определитель Вронского W(y1, y2 ) не обращается в нуль ни в одной точке указанного сегмента.

Свойство 5. (структура общего решения) Если y1 и y2 –

два линейно независимых решения уравнения (1.26), то

37

y = c1y1 + c2 y2 , где c1 и c2 – произвольные постоянные, есть

его общее решение.

Доказательство. Из свойств 1 и 2 следует, что y = c1y1 +c2 y2 – решение уравнения (1.26) при любых значениях c1 и c2 . Покажем, что каковы бы ни были начальные условия y(x0 )= y0 и y′(x0 )= y′0 , можно так подобрать c1 и c2 , чтобы соответствующее частное решение c1y1 +c2 y2 удовлетворяло заданным начальным условиям. Подставляя начальные условия в функцию y = c1y1 + c2 y2 , получаем систему

торый не равен нулю в силу линейной независимости y1 и y2 .

Решение y = c10 y1 +c02 y2 удовлетворяет заданным начальным условиям. ■

Определение 1.20. Два линейно независимых решения y1 и y2 уравнения (1.26) называются фундаментальной системой решений уравнения (1.26).

1.3.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где a и b – постоянные числа. Найдем фундаментальную систему решений данного уравнения. Пусть решения уравнения

38

(1.27) имеют вид y = ekx , где k – постоянная. Подставив функцию y и ее производные y′ = kekx , y′′ = k2ekx в уравнение (1.27), получим ekx (k2 + bk + a)= 0 . Таким образом, y = ekx является решением уравнения (1.27) тогда и только тогда, когда

Уравнение (1.28) называется характеристическим.

Далее алгоритм нахождения решений зависит от вида дискриминанта уравнения (1.28).

1. Дискриминант уравнения (1.28) D > 0 .

Тогда уравнение (1.28) имеет различные действительные корни k1 , k2 , им соответствуют решения уравнения (1.27)

y1 = ek1x и y2 = ek 2 x . Покажем, что они линейно независимы. Вронскиан

следовательно, y1 и y2 образуют фундаментальную систему решений. Общее решение уравнения (1.27) –

y = c1ek1x + c2ek 2 x , c1, c2 R .

Пример 1.19. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′− y′− 2y = 0 .

Решение. Для дифференциального уравнения составим характеристическое уравнение k2 − k − 2 = 0 . Квадратное уравнение имеет решения k1 = 2 , k2 = −1, им соответствуют част-

39

2. Дискриминант D = 0 .

Характеристическое уравнение (1.28) имеет один кратный корень k0 . Функция y1 = ek 0 x является решением уравнения (1.27). Можно показать, что в качестве второго решения допустимо взять y2 = xek 0 x . Вронскиан

поэтому y1 и y2 линейно независимы, и общее решение уравнения (1.27) имеет вид

имеет кратный корень k0 = 2 . Тогда частные линейно незави-

симые решения дифференциального уравнения – y1 = e2x ,

y2 = xe2x .

Ответ: y1 = e2x и y2 = xe2x .

3. Дискриминант уравнения (1.28) D < 0 .

Уравнение (1.28) имеет комплексно-сопряженные корни

они линейно независимы, и из них составляется общее решение уравнения (1.27)

y′(0)=1.

40

Решение. Составляем характеристическое уравнение k2 +9 = 0 , его корни – k1 = 3i , k2 = −3i . В соответствии с теорией дифференциальное уравнение имеет решения

1.3.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства. Структура общего решения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

шение уравнения (1.26), то y1 ± y2 – также решение уравнения

(1.29).

Свойство 2. Если q(x)= q1(x)+ q2 (x)+... + qm (x), y1 есть решение уравнения y′′+ p1(x)y′+ p2 (x)y = q1(x),

y2 есть решение уравнения y′′+ p1(x)y′+ p2 (x)y = q2 (x),…,

41

ym есть решение уравнения y′′+ p1(x)y′+ p2 (x)y = qm (x), то y = y1 + y2 +... + ym есть решение уравнения (1.29).

Свойство 3. (структура общего решения). Пусть y – об-

щее решение линейного однородного уравнения (1.26), ~y – ка- кое-нибудь частное решение линейного неоднородного уравнения (1.29). Тогда y = y + ~y является общим решением уравне-

ния (1.29).

Доказательство. По свойству 1 y = y + ~y будет решением

лем Вронского для линейно независимых функций и отличен от

общим решением уравнения (1.29). ■ Пример 1.22. Найти общее решение уравнения

Составляем характеристическое уравнение для уравнения (1.31): k2 − 4k −5 = 0 ,