Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теор_курс дифуры и ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

883.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

102

Замечание. При вычислении коэффициентов Фурье можно заменить промежуток интегрирования [− π; π] промежутком

(с, c + 2π), получим формулы

c+2π

= 1

c+2π

∫f (x)dx ,

∫f (x)cos nxdx ,

c+2π

∫f (x)sin nxdx , с – любое число.

Рассмотрим частные случаи для функции f (x).

1. Если

функция

f (x)

четная,

то

произведение

f (x) sin nx

является нечетной функцией,

а f (x) cos nx - чет-

ной. Тогда

a0 =

1 π∫f

(x)dx =

π∫f (x)dx ,

π −π

π 0

1 π∫f

(x)cos nxdx =

π∫f (x)cos nxdx ,

π −π

π 0

(x)sin nxdx =

и f (x)~

∞

∫f

∑an cos nx .

π −π

n=1

Ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы». 2. Если функция f (x) нечетная, то произведение

f (x) sin nx будет четной функцией, а f (x) cos nx - нечетной функцией. Имеем

a0 =	1	π∫f (x)dx = 0 ,	an =	1	π∫f (x)cos nxdx = 0 ,

	π −π			π −π
	2	π			∞
bn =		∫f (x)sin nxdx ,	и f (x)~ ∑an sin nx .

	π 0				n=1

Ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

103

2.3.2. Ряд Фурье 2l-периодической функции

Пусть задана 2l-периодическая функция f (x), l ≠ π. Вы-

x =

полним замену

. Тогда функция

будет периодиче-

t с периодом

ской по переменной

2π.

Раскладывая её в ряд

Фурье на сегменте

[− π; π], получаем

∞

+ ∑(an cos nt + bn sin nt),

n=1

1 π

∫ f

, an

∫ f

cos ntdt ,

π −π

n −π

∫

sin ntdt .

−π

Выполнив обратную замену t =

πx ,

dt =

π dx , получим

πnx

∫ f

dt =

∫f (x)dx, an

∫f

(x)cos

dx,

π −π

−l

(2.35)

1 l∫f

(x)sin

πnx dx.

l −l

Таким образом, 2l-периодическая функция f (x) раскла-

дывается в ряд Фурье

f (x)~

∞

πnx

+ ∑ an cos

+ bn sin

n=1

где

коэффициенты

a0 , a1, b1, a2 , b2 ,..., an , bn ,...

вычисляются

по формулам (2.35). Теорема Дирихле, сформулированная для ряда Фурье 2π-периодической функции f (x), имеет место и

для 2l-периодической функции f (x), а также сохраняется возможность упростить вычисления коэффициентов ряда в случае, когда функция f (x) является четной или нечетной.

			104
Если функция f (x) – четная (f (− x)= f (x)), то
	f (x)~ a0		∞
	f (x)~ a0		+ ∑an cos πnx ,
		2	n=1		l
a0 = 2 l∫f (x)dx ,		an = 2 l∫f (x)cos			πnxdx , bn	= 0 .
l −l			l −l		l
Если функция f (x) – нечетная (f (− x)= −f (x)), то
			∞
	f (x)~ ∑bn sin πnx				,
			n=1	l
a0 = 0 ,	an	= 0 ,	bn =	2 l∫f (x)sin πnxdx .
				l 0	l
Пример 2.33. Разложить в ряд Фурье периодическую функ-
цию f (x) с периодом 2, заданную на отрезке [-1;1]						условием
f (x)= x2 .
Решение. Функция f (x) является четной (рис. 2.3), так как
f (− x)= (− x)2 = x2 = f (x)			при любом x . Значит, функция
f (x) раскладывается в ряд Фурье «только по косинусам». Най-

дём коэффициенты ряда: l =1,

	2		l	1	2x	3		1	2
			l	1		3		1
a0 =			∫f (x)dx = 2∫ x2dx =					=		,
		l	0	0	3			0	3
an =		2 ∫f (x)cos		πnxdx = 2∫ x2				0
an =		2 ∫f (x)cos		πnxdx = 2∫ x2			cos(πnx)dx =
			l		1
		l 0		l	0

105

u = x2

dv = cos(πnx)dx

= 2

sin(πnx)

−

1∫ x sin(πnx)dx

du = 2xdx

πn

πn 0

v =

sin(πnx)

πn

u = x

4 1 du = dx

= − πn 0∫ x sin(πnx)dx = dv = sin(πnx)dx = v = π1n cos(πnx)

= −

−

cos(πnx)

∫cos(πnx)dx

πn

cos(πnx)

(−1)n 4

bn = 0 .

π2n2

Имеем f (x)=

+ ∑∞ 4(−1)n

cos(πnx).

n=1

π2n2

Знак соответствия «~» здесь заменён знаком равенства «=», поскольку f (x) непрерывна на всей области задания.

Ответ:	1	+ ∑∞ 4(−1)n	cos(πnx).
	3	n =1 π2n2

2.3.3. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Пусть функция f (x)определена на сегменте [0;a]. Для раз-

ложения функции в ряд Фурье необходимо доопределить её на

множестве

(− ∞; 0) (a; +∞)

до периодической функции, сделать это можно разными способами, рассмотрим неко-

торые из них.

106

1 способ.

Будем строить периодическую функцию F(x)

с периодом

так,

чтобы

на

отрезке

[0;a]

F(x)≡ f (x)

(рис. 2.4). Функцию F(x) раскладываем в ряд Фурье

F(x)~

∞

cos

2πnx

+ bn sin

2πnx

+ ∑

n=1

a0 =

2 a∫f (x)dx ,

2 a∫f

(x)cos

2πnx dx ,

a 0

2 a∫f

(x)sin

2πnx dx ,

в этом случае l = a .

a 0

2 способ. На

отрезке

[0;a]

до-

определяем

(x)

функцию

четным

образом,

затем строим

пе-

риодическую функцию F(x) с периодом 2а, которая будет чет-

ной (рис. 2.5). Ряд Фурье для функции F(x) имеет вид

F(x)

~ a0 +

∞

πnx

∑an cos

n=1

= 2 a∫f (x)dx ,

2 a∫f (x)cos πnx dx ,

l = а.

a 0

3 способ. Доопре-

деляем функцию f

(x)

на сегменте [0;a] не-

четным

образом

строим

нечетную

пе-

риодическую функцию

F(x) с

периодом

2а

(рис. 2.6).

Раскладываем функцию

F(x)~ ∑bn sin πnx		,
∞
n=1	a

Пример 2.34. Функцию

107 F(x)

bn =

в ряд Фурье:

2 a∫f (x)sin	πnx dx , l = а.
a 0	a

			1;−		1
1, x	−						,
f (x)=			1		2
x +1,		−		;0
						,
			2

разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам;

в) общего вида.

f (x)

Решение: а) строим график функции

на интервале

(-1;0) и доопределя-

ем её

на

интервале

(0;1)

четным обра-

зом (рис. 2.7).

Получим

чет-

ную

функцию,

l = 2 =1. Тогда

−1 2

a0 =

∫f (x)dx

= 2 ∫f (x)dx = 2 ∫dx + 2 ∫(x +1)dx = 7

−l

−1

−1 2

an =

2 0∫ f (x)cos πnxdx =

l −l

−1 2

(x +1)cos πnxdx =

2 ∫cos πnxdx +

2 ∫

−1

−1 2

2(x +1)

sin πnx

−

∫sin πnxdx =

πn

−1

πn

−1 2

πn −1 2

− 2

sin πn +

sin

πn +

−

cos

πn

π2n2

πn

108

(−1)(n+1) 2 πn

+ 2

n =

2k −1,

n 2

2 (1 − (−1)

), n =

2k,

f (x)= a0

∞

cos πnx =

7 +

2 − π cos πx +

cos 2πx +

∑a

n=1

π2

π2 4

2 + 3π cos 3πx +... ;

π2 9

б) функцию f (x) на интервале (0;1) доопределяем до не-

четной

функции

(рис. 2.8).

Имеем

пе-

риодическую

не-

четную

функцию

с периодом

2l = 2 .

Раскладыва-

ем функцию в ряд

Фурье:

πnxdx =

−1 2

bn =

∫f (x)sin

2 ∫sin πnxdx +

2 ∫(x +1)sin πnxdx =

−l

−1

−1 2

− 2

cos πnx

−1 2

−

2(x +1)

cos

πn

πnx

∫cos πnxdx =

−1

−1 2

πn −1 2

= −

cos πn

cos πn − 2

cos

πn +

sin πn =

πn

π2n2

= −

−

cos πn

sin

πn

2 cos πn =

πn

π2n2

πn

−2 22 (2πn + (−1)(n+1) 2 ), n = 2k −1,

π n n 2

(−1)

, n = 2k,

πn

109

f (x)=		∞
f (x)=		∑bn sin πnx =
		n=1
=	2 − 4π sin πx −		1	sin 2πx −	12π + 2 sin 3πx +	1	sin 4πx +...;
=	2 − 4π sin πx −		2π	sin 2πx −	12π + 2 sin 3πx +	4π	sin 4πx +...;
	π2		2π		π2 9	4π

ления коэффициентов Фурье:

		1	0	−1 2	0	(x
a0	=	1	∫f	(x)dx = 2 ∫1	dx + 2 ∫	(x
		l	−l	−1	−1 2
an	=	1	0∫f (x)cos(2πnx)dx =
		l −2l

в) строим периодическую функцию с периодом 2l =1 , совпадающую на интервале (−1;0) с функцией f (x)

(рис. 2.9).

Производим вычис-

+1)dx = 74 ,

−1 2

+1)cos(2πnx)dx =

2 ∫cos(2πnx)dx + 2 ∫(x

−1

−1 2

sin(2πnx)

−1 2

x +1

sin(2πnx)

−

0∫sin(2πnx)dx =

πn

−1

πn

−1 2

πn −1 2

−

cos πn =

(1 − (−1)n ),

2π2n2

−1 2

bn = 2 ∫sin(2πnx)dx + 2 ∫(x +1)sin(2πnx)dx =

−1

−1 2

= −

cos πn =

(−1)n+1

2πn

Получили

f (x)= a0		+ ∑an cos(2πnx)+ bn sin(2πnx)=
		∞
2		n=1

110

+ ∑∞

1 − (−1)n

cos(2πnx)+

(−1)n+1

sin(2πnx)

2πn

n=1 2π2n2

cos 2πx −

sin 2πx

sin 4πx +... .

π2

2π

4π

2.3.4. Задачи для самостоятельной работы

Разложить в ряд Фурье функцию f (x)= 2, − π < x ≤ 0,

3, 0 < x < π.

2.Разложить в ряд Фурье функцию f (x)= x на интервале

(-2;2).

3.Разложить в ряд Фурье функцию f (x)= x на интервале

(-1;1).

4. Разложить в ряд Фурье на отрезке [0; π] функцию f (x)= π − 2x : а) по косинусам; б) по синусам.

Ответы: 1.

−

∞ 1

− (−1)n

sin nx .

∑

(−

1)n+1

π n=1

∞ 1−(−1)n

∞

πnx

cos πnx .

∑

sin

∑

π2

π n=1

n =1

∞ 1 − (−1)n

∞

4. а)

∑

cos nx ,

б)

2 ∑

sin 2nx .

π n=0

n=1n

111

Оглавление Предисловие…………………………………………………….…3

1. Дифференциальные уравнения………………………………4

1.1.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравне-

ния………………………………………………………….………..4

1.2.Дифференциальные уравнения первого порядка……..……..6

1.2.1.Общие понятия……………………………………………....6

1.2.2.Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения……………………………………….…...7

1.2.3.Метод изоклин…………………………………...…………..9

1.2.4.Уравнения с разделяющимися переменными…………....11

1.2.5.Однородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним……………………………….……………………….…..……14

1.2.6.Линейные уравнения первого порядка…………..……….18

1.2.7.Уравнение Бернулли………………………………..……...22

1.2.8.Уравнение в полных дифференциалах……………...…….25

1.2.9.Задачи для самостоятельной работы………………..…….27

1.3.Дифференциальные уравнения высших порядков…….…..30

1.3.1.Общие понятия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши…………………………………….………30

1.3.2Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка…………………………………………………………….31

1.3.3.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства. Структура общего реше-

ния………………………………………………………….……...34

1.3.4.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициента-

ми…………………………………………………………………..37

1.3.5.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства. Структура общего реше-

ния……………………………………………………..…………...40

1.3.6.Метод вариации произвольных постоянных…………..…42

1.3.7.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов………………………………….......44 1.3.8*. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс……...48

1.3.9.Задачи для самостоятельной работы…………………..….52

1.4.Системы дифференциальных уравнений…………………...53

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке диф ур

#
30.05.20152.49 Mб32Lectures - 3.pdf
#
30.05.20152.41 Mб55Lecture_on_DE_(full).pdf
#
30.05.2015883.02 Кб34Теор_курс дифуры и ряды.pdf