Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теор_курс дифуры и ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

883.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Решение. Разложить по степеням (x −1) – это разложить в окрестности точки x0 =1. Функция f (x) является многочле-

ном, а следовательно, имеет непрерывные производные любого порядка при любом действительном значении x . Вычислим производные:

	′	3			2		′
f (x)= 4x		3	− 6x		2	+ 6x,	f (1)= 4 ,
f (x)= 4x			− 6x			+ 6x,	f (1)= 4 ,
	′′		2				′′
f (x)=12x			2	−12x + 6,			f (1)= 6 ,
f (x)=12x				−12x + 6,			f (1)= 6 ,
f	′′′						′′′
f	(x)= 24x −12,						f (1)=12 ,
f (IV)(x)= 24 ,							f (IV)(1)= 24 ,

f (V)(x)= 0 ,

…

Подставляя производные в ряд Тейлора, имеем

f (x)~ 1 + 4(x −1)+ 26!(x −1)2 + 123! (x −1)3 +

+244! (x −1)4 + 50!(x −1)5 +... =

=1 + 4(x −1)+ 3(x −1)2 + 2(x −1)3 + (x −1)4 . Ответ: 1 + 4(x −1)+ 3(x −1)2 + 2(x −1)3 + (x −1)4 .

Определение 2.16. Ряд Тейлора (2.33) при x0 = 0 называ-

ется рядом Маклорена и имеет вид

f (0)+ f ′(0)x +... + f (n )(0)xn +... .

1! n!

Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

ex =1 +

+... +

xn−1

+... при x (− ∞;+∞),

(n −1)!

sin x =

−

+... +

(−1)n−1 x2n−1

+... при x (− ∞;+∞),

(2n −1)!

			93
cos x =1 −	x2	+... +	(−1)n−1 x2(n−1)		+... при x (− ∞;+∞),
			(2(n −1))!
2!
(1 + x)m =1 + m x + m(m −1)x2				+... +
		1!	2!

+ m(m −1) ... (m − n + 2)xn−1 +... , при x (−1;1), m – любое,

(n −1)!

ln(1 + x)= x −

+... +

(−1)n−1 xn

+... при x (−1;1].

arctgx = x −

+... +

(−1)n−1 x2n−1

+... при x [−1;1].

2n −1

Пример 2.27. Разложить функцию f (x)= e−x2 в ряд Мак-

лорена.

Решение. Так как ex =1 + x +

+... +

+...– разложе-

ние в ряд Маклорена функции ex при любом x , то, заменяя x на − x 2 в этом тождестве, получаем

e−x2 =1 − x2 +... + (−1)n x2n +... .

Ответ: 1 − x2 +... + (−1)n x2n +... .

2.2.6. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Разложение в ряд Маклорена элементарных функций применяется для приближенных вычислений значений функций, определенных интегралов, для приближенного решения дифференциальных уравнений, при этом важным является вопрос об оценке погрешности вычислений.

Если ряд знакочередующийся и удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то для остатка Rn ряда верна фор-

мула Rn = an+1 − an+2 + an+3 − ... ≤ an+1 . Если ряд с поло-

жительными членами, то используют формулу для остаточного члена (теорема 2.13).

Рассмотрим примеры.

Пример 2.28. Вычислить 5 1,1 с точностью до 0,001.

Решение. Подставляя в разложение функции (1 + x)m x = 0,1 и m = 15 , получаем

5 1,1 = (1 + 0,1)15 =1 + 15 0,1 +

1 1

−1

− 2

0,01 +

5 5

0,13 +... =

=1 + 0,02 − 0,0008 + 0,000048 −... .

Имеем знакочередующийся ряд. Так как в задании нужно вычислить приближенно с погрешностью ε = 0,001, то отбрасы-

ваемый остаток R n по абсолютной величине должен быть меньше ε. Учитывая, что R1 ≤ a2 = 0,0008 < ε = 0,001,

5 1,1 ≈1 + 0,02 =1,020 .

Ответ: 1,020.

Пример 2.29. Вычислить e , взяв в разложении в степенной ряд три члена. Оценить погрешность.

Решение. Используя разложение для							ex при x =		1	, имеем
					2				2
				1	2
		1						1
				2
1 2	=1 +		+	2		+ R2
e							,
e		2		2!			,
		2		2!				2

значит,

e ≈1 + 1

+ 1 =1,625 . В общем виде

Rn (x)=

f (n+1)(x0 + θ(x − x0 ))(x − x0 )n+1

(n +1)!

Подставляя n = 2 ,

x0 = 0 ,

x =

, f (x)= ex , получаем

θ 1

, θ (0;1).

Оцениваем:

θ 1

1,7

< 0,036 .

θ <1, e2

< e2 , R2

8 6

В качестве погрешности ε можно выбрать ε = 0,05 .

Ответ:

e ≈1,63 ,

ε = 0,05 .

1 sin x

с точностью до 0,0001.

Пример 2.30. Вычислить ∫

(Подынтегральная функция f (x)=

sin x

определена при x ≠ 0 .

При x = 0 по непрерывности получаем f (0)=1).

Решение. Разделив почленно ряд для sin x на x , будем

иметь

sin x

=1 −

−

+... . Отсюда, интегрируя по-

членно, получаем

sin x

∫

= ∫

1 −

+ −

− −

... dx =

−

dx +

−... =1 −

−... .

∫dx

∫ x

3! 3

5! 5

В знакочередующемся ряде, удовлетворяющем теореме Лейб-

ница, 51! 5 = 352801 < 0,0001 = ε, поэтому приближенно вычис-

ляем интеграл, отбросив все члены ряда, начиная с 51! 5 . Итак,

1 sin x		dx ≈1 −	1	≈ 0,944 .
∫
	x		3! 3
0

Ответ: 0,9444.

Пример 2.31.* Найти решение дифференциального уравнения y′′ = 2xy′+ 4y , удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 0 , y′(0)=1 .

Решение. Представляем решение y в виде степенного ряда

y = a0 + a1x + a2x2 +... + an xn +....

На основании начальных условий находим a0 = 0 , a1 =1 . Сле-

довательно,

y = x + a2x2 + a3x3 +... + an xn +... ,

y′ =1 + 2a2 x + 3a3x2 +... + nan xn−1 +... ,

y′′ = 2a2 + 3 2a3x +... + n(n −1)an xn−2 +... .

Подставив полученные выражения в заданное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , имеем

2a2 = 0 , откуда a2 = 0 ,

3 − 2a3 = 2 + 4 , откуда a3 =1 ,

4 3a4 = 4a2 + 4a2 , откуда a4 = 0 ,

n(n −1)an = (n − 2)2an−2 + 4an−2 , откуда an = 2na−n−12 , … .

Тогда a2k = 0 , a2k+1 = 2a2k2k−1 .

Так как

a5 = 241 = 2!1 , a7 = 3!1 , a9 = 4!1 ,…, a2k+1 = 2 (k2k−1)! = k!1 ,…,

то

x2k+1

y = x +

+... +

x2k

= x 1

+... +

Ответ: y = xex2 .

+... =

+... = x ex2 .

2.2.7. Задачи для самостоятельной работы

Найти область сходимости функционального ряда

∞	x +1		n	∞	1
1. ∑n!			.	2. ∑			.
		x			+	3n +1)
n=1				n=1 xn (n2

3*. Доказать равномерную сходимость на множестве действи-

тельных чисел R ряда

∞ sin x

∑

n=1

Найти область сходимости степенного ряда

+... +

+...;

x +

+... +

+...;

2 + 2

n +

∞

(2x)n

∞ (x −3)n

∑

;

∑

;

3n+1

n=1

∞

(−1)n xn

∞

n x −1

∑

;

∑

n + 2

n=1

n=1n +1

								98
	Найти сумму ряда
		x2				x3			xn+1
10*.			+				+... +			+... .
	2					3			n +1
11*. − 2x + 4x3								− 6x5 +... + (−1)n 2nx2n−1 +... .
	Разложить функцию в ряд Тейлора
12.	y =			1	,		x0	= 3. 13. y = x ln(1 + x), x0 = 0 .

				x
14.	y =			1 + x2				, x0 = 0 .

15.Вычислить e2 с точностью до 0,001.

16.Вычислить cos 18π с точностью до 0,0001.

1 2	dx
17*. Вычислить ∫	dx	, взяв два члена в разложении ряда.
0	1 + x4

Оценить погрешность.

0,8

18. Вычислить ∫ x10 sin xdx с точностью до 0,001.

19*. Найти решение уравнения y′ = 2x − y , удовлетворяющее

условию y(0)= 2 .

Ответы. 1.

x = −1.

(− ∞;−1] [1;+∞).

4. [−1;1).

5. (− ∞;+∞). 6.

7. (0;6). 8. (−1;1]

. 9. (−1;3).

−

;

10.

− x − ln1 − x

11.

− 2x

(1 + x2 )2

12.

−

x −3

(x −3)2

+... +

(−1)n+1(x −3)n−1

+... .

13.

2 −

+... +

(−1)n xn+1

+... .

1 x4

n+1 1 3 ... (2n −3) x2n

14. 1 +

− 2

+... + (−1)

+... .

2 4 ... (2n − 2) 2n

15. 7,389.

16. 0,9848.

17. 0,4971, ε = 0,0001.

18. 0,006.

+ 2(x −1)= 4e

−x + 2(x −1).

19. y = 4 1 −

+ −

−

+...

2.3.Ряды Фурье

2.3.1.Ряд Фурье для 2π− периодической функции

Пусть функция f (x), определенная на множестве действительных чисел, является интегрируемой и 2π− периодической.

Определение 2.17. Тригонометрический ряд вида

a0	∞
	+ ∑(an cos nx + bn sin nx),	(2.34)
2
	n=1

в котором коэффициенты a0 , a1, b1, a2 , b2 ,..., an , bn ,... находятся по формулам

a0	=	1	π∫f (x)dx ,		an =	1 π∫f (x)cos nxdx ,

		π −π				π −π
bn	=	1 π∫f (x)sin nxdx ,
		π −π					f (x);
называется	рядом			Фурье		функции		числа
a0 , a1, b1, a2 , b2 ,..., an , bn ,...					называются		коэффициентами
Фурье.
Ряд Фурье (2.34) функции f (x) может расходиться, может
сходиться к сумме S(x), не совпадающей с							f (x). Поэтому в

общем случае говорят, что функция f (x) порождает ряд Фурье, и пишут

	a0	∞
f (x)~		+ ∑(an cos nx + bn sin nx).
	2
		n=1

100

Укажем достаточные условия представимости функции f (x) рядом Фурье.

Теорема 2.14 (Дирихле). Если 2π-периодическая функция f (x) кусочно непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную на отрезке [− π; π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f (x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f (x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции f (x) справа и слева, т.е.

S(x0 )=	f (x0 − 0)+ f (x	0	+ 0)	,	x0 - точка разрыва.
	2

Пример 2.32. Разложить в ряд Фурье функцию
	f (x)= 0, − π < x ≤ 0,
	x,		0 < x < π.

Решение. Функция f (x) (рис.2.2) удовлетворяет условиям теоремы 2.14.

Найдем коэффициенты Фурье:

1 0

π2

∫f (x)dx =

∫ 0

dx + ∫ xdx

π 2

π −π

	1	π	1 0	π
an =		∫f (x)cos nxdx =	∫ 0	cos nxdx + ∫ x cos nxdx	=

	π −π		π −π	0

101

u = x

du = dx

x sin nx

1 π

dv = cos nxdx

− n 0∫sin nxdx

v =

sin nx

1 cos nx

−

, если n = 2k +1,

πn

если n = 2k,

x cos nx

bn =

∫f (x)sin nxdx

−

∫cos nxdx

−π

1 cos nπ =

= −

cos nπ +

sin nx

= −

πn

1 , еслиn = 2k +1,

=n1

− n , еслиn = 2k.

Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид

(x)=

−

cos x

cos 3x

cos 5x

...

sin x

sin 2x

sin 3x

sin 4x

−

+... .

В точках разрыва функции

f (x) x0

= (2k −1)π, k Z, сумма

ряда равна среднему арифметическому её пределов справа и слева, т.е. π2 .

Ответ: f (x)=	π		2	cos x			cos 3x
		−				+			+...	+
	4				2		3	2
			π		1

sin x			sin 2x		sin 3x
+		−		+		−... .
	1		2		3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке диф ур

#
30.05.20152.49 Mб32Lectures - 3.pdf
#
30.05.20152.41 Mб55Lecture_on_DE_(full).pdf
#
30.05.2015883.02 Кб34Теор_курс дифуры и ряды.pdf