Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теор_курс дифуры и ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

883.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

lim S2k = S R.

k→+∞

72
a1 − a2 + a3 −... + (−1)n+1an +...,	(2.14)

где an > 0 при любом n , называется знакочередующимся.

Теорема 2.7 (теорема Лейбница). Пусть знакочередую-

щийся ряд (2.14) удовлетворяет условиям:
1)	последовательность (an ) является убывающей, т.е.
			a1 > a2 >... > an >... ;
2)	lim an = 0 . Тогда ряд (2.14) является сходящимся.
n→+∞
Доказательство. Рассмотрим четную 2k – частичную сум-
му S2k	= (a1 − a2 )+ (a		3 − a4 )+... + (a2k−1 − a2k ). Так как	по-
следовательность		(an )	убывающая, то каждая скобка в	S2k
больше нуля, S2k		> 0 и S2k возрастает с возрастанием k . С
другой стороны,
S2k	= a1 − (a2 − a3 )− (a4 − a5 )−... − (a2k−2 − a2k−1 )− a2k ,
значит,	S2k < a1 . Последовательность (S2k ) является монотон-

но возрастающей и ограниченной. По свойствам предела последовательности существует

Рассмотрим		нечетную		2k +1–		частичную	сумму
S2k +1 :	S2k +1 = S2k + a2k +1 .			Перейдя	к	пределу в равенстве,
получим		= lim S2k + lim a2k				= lim S2k = S ,
lim S2k +1		= lim S2k + lim a2k			+1	= lim S2k = S ,
k →+∞		k →+∞		k →+∞		k →+∞
потому	что	по	условию		lim a2k+1 = 0 .		Итак,
				k→+∞
lim S2k	= lim S2k+1 = S , значит, ряд (2.14) сходится. ■
k→+∞	k→+∞

Замечание. Сумма S знакочередующегося ряда (2.14) положительна и не превосходит a1 . К тому же можно показать,

что S −Sn ≤ an+1 при любом n .

Пример 2.14. Исследовать на сходимость ряд

2	−	3	+	4	−... +	(−1)n +1(n +1)	+... .
3		9		27		3n

Решение. Проверим выполнение условий теоремы Лейбни-

ца. Так как при любом n

(n +1)

an+1

n + 2

n +1

−

3n+1

3n 3 3n 3

n +1

−

2n +1

n +1

= an ,

3n 3

(n +1)

то последовательность

является убывающей.

lim a

= lim

n +1 = 0

(доказывается

помощью

правила

n→+∞

Лопиталя). По теореме 2.7 исходный ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример 2.15. Исследовать на сходимость ряд

1 − 2 + 3 −... + (−1)n+1 n +... .

Решение. Вычисляя

lim an = lim n = +∞ ≠ 0 , получаем,

что ряд расходится.

n→+∞

Ответ: расходится.

2.1.8. Условная и абсолютная сходимость

знакопеременного ряда

Определение 2.6. Ряд

a1 + a2 +... + an +...

(2.15)

называется знакопеременным рядом, если среди его членов есть бесконечно много как положительных, так и отрицательных чисел.

Примеры знакопеременных рядов:

1) ряд 1 + cos1 + 12 + cos 2 +... + cos n +... является знако-

переменным, потому что cos n при n → +∞ принимает бесконечно много отрицательных и положительных значений;

2) ряд −	1	+	2	+... +	(−1)n n	+... является знакочере-
	2		3		n +1

дующимся, это частный случай знакопеременного ряда.

Определение 2.7. Знакопеременный ряд (2.15) называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

+ +

(2.16)

сходится.

Ряд (2.16) будет рядом с положительными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все ранее описанные признаки.

Определение 2.8. Если знакопеременный ряд (2.15) сходится, а ряд, составленный из модулей, (2.16) расходится, то ряд

(2.15) называется условно сходящимся.

Пример 2.16. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

	5	n+1 n2 +1
2 −		+... + (−1)		+....	(2.17)
	8		n3

Решение. Составим из абсолютных величин членов ряда

(2.17) ряд

2 +	5	+... +	n2 +1	+...	(2.18)
	8		n3

и исследуем его на сходимость. Так как у общего члена

an	=	n2	+1	в числителе – многочлен второй степени, а в зна-
		n3

менателе – многочлен третьей степени, то сравним ряд (2.18) с

∞	1
рядом ∑		, который является расходящимся гармоническим

n=1n

рядом. По второму признаку сравнения

				75
		1		n3
lim		n	= lim	n3	=1 (0;+∞),
lim			= lim		=1 (0;+∞),
n→+∞ n2 +1			n→+∞ n(n2 +1)
	n3

поэтому ряд (2.18) расходится, как и гармонический.

Ряд (2.17) исследуем с помощью теоремы Лейбница. Первое

		5			n2 +1			(n +1)2 +1
условие 2 > 8			> ... >			n3	>		> ... и второе условие
								(n +1)3
lim a	n	= lim		n2 +1		= 0 выполняются, поэтому знакочере-
				n3
n→+∞		n→+∞

дующийся ряд (2.17) будет сходящимся. В итоге ряд (2.17) сходится условно.

Ответ: сходится условно.

Укажем некоторые важные свойства знакопеременных ря-

дов.

Свойство 1. Если знакопеременный ряд (2.15) сходится абсолютно, то он сам сходится.

Пример 2.17. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

sin1

sin 2

sin n

+... + (3n)! +... .

(2.19)

Решение. Для ряда (2.19) составим ряд из абсолютных ве-

личин

sin1

sin 2

+... +

sin n

+....

(2.20)

(n)!

Исследуем ряд (2.20) на сходимость. Учитывая, что для лю-

бого n

∞

sin n

≤1, сравним ряд (2.20) с рядом ∑

. По при-

(3n)!

∞

n=1

знаку Даламбера ряд ∑

сходится, так как

n=1(3n)!

lim an +1

n →+∞ an

При любом n

= nlim→+∞

(3n)!

(3(n +1))!

(3n)!

(3n +3)!

= lim

(3n)!

(3n)!(3n +

1)(3n +

2)(3n + 3)

n→=∞

= lim

= 0 <1.

(3n +1)(3n

+ 2)(3n + 3)

n→=∞

sin n

≤

, по первому признаку сравнения

(3n)!

ряд (2.20) будет сходиться. Значит, исходный ряд (2.19) сходится абсолютно, а следовательно, и сам сходится.

Ответ: сходится абсолютно.

Свойство 2. Любая перестановка членов в абсолютно сходящемся ряде не влияет на его сходимость, причем сумма ряда также не изменяется.

Свойство 3. Сумма двух абсолютно сходящихся рядов есть ряд абсолютно сходящийся. При умножении абсолютно сходящегося ряда на произвольную постоянную получается ряд абсолютно сходящийся.

Свойство 4. Если ряд сходится условно, то каково бы ни было число A , можно так переставить члены ряда, чтобы сумма вновь полученного ряда была равна A . В условно сходящемся ряде перестановкой членов можно добиться расходимости ряда.

2.1.9. Задачи для самостоятельной работы

			Найти сумму ряда.
	1						1		1			1
1.				+				+			+	... +		+... .
		1 2				2 3			3 4				n(n +1)
	1						1		1			1
2.				+				+			+	... +			+... .
		1 4				4 7				3 4			(3n − 2)(3n +1)
3.	1		+		3		+... +			2n −1		+....
	4			16						4n

Исследовать ряд на сходимость с помощью необходимого условия сходимости и признаков сравнения.

	2	3						n +1
4.	3 +	8	+... +								+... .
4.	3 +	8	+... +			(n + 2)n					+... .
5.	∑ 1	( n +1 − n −1).
	∞
	n=1n								2n −1
6.	1 +	3	+ 5 +... +						2n −1			+....
6.	1 +	4	+ 5 +... +									+....
	2	4	6						2n
			1				1
	cos1 +			cos				+... +		cos
7.				cos	2					cos			n	+....
7.														+....
	1		4								n2
8.	arctg1+ arctg2 +... + arctgn +... .
9.	∞			n			.
9.	∑						.
	n=1	n7 − n +1

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера.

10.2 + 22 +... + 2n +....

1 2! n!

11.	1 +		1 3 +... +		1 3 ... (2n −1)	+... .
	3		3	6	3n n!
	∞			5n
12.	∑				.
12.	∑	2n		2 − n + 7	.
	n=1	2n		2 − n + 7

Исследовать на сходимость ряд с помощью радикального признака Коши.

13. arcsin1 + arcsin2 12 +... + arcsinn n1 +....

∞	2n2		+ 2n +1	n
		2
14. ∑	5n	2	+ 2n +1	.
n=1	5n		+ 2n +1

								78
	1		2	4		n	n2
15.	2	+	3		+... +			+....

					n +1

16. Пользуясь интегральным признаком, исследовать на сходи-

∞	1
мость ряд ∑		.
мость ряд ∑	(n +1)ln2 (n +1)	.
n=1	(n +1)ln2 (n +1)

Исследовать знакопеременный ряд на абсолютную и условную сходимость.

17.	1	−	1	+... +	(−1)n +1	+....
	2		2 22		n 2n

18.2 − 32 +... + (−1)n+1 (n n+1)+... .

∞(−1)n+1(n +1)

19.∑ n2 + 5n + 2 .n=1

Ответы. 1. 1. 2. 13 . 3. 23 . 4. Расходится. 5. Сходится.

6. Расходится. 7. Сходится. 8. Расходится. 9. Сходится. 10. Сходится. 11. Сходится. 12. Расходится. 13. Сходится.

14. Сходится. 15. Сходится. 16. Сходится. 17. Сходится абсолютно. 18. Расходится. 19. Сходится условно.

2.2.Функциональные ряды

2.2.1.Понятие функционального ряда. Область сходимости

Определение 2.9. Ряд
u1(x)+ u2 (x)+... + un (x)+...,	(2.21)
где u1(x), u2 (x),..., un (x),... – некоторые функции	перемен-

ной x , определённые на множестве X , называется функцио-

нальным рядом.

Примеры функциональных рядов:

1) бесконечная сумма членов геометрической прогрессии со

	x		x	x		2	x		n
знаменателем		1 +		+			+... +			+... является функ-
	2		2		2			2

при любом n

un (x)=

циональным рядом,

определена

на R;

log2 x

log3 x

logn x

2) ряд

+... +

+... –

функциональный

logn x

ряд с un

(x)=

x > 0 .

При каждом фиксированном x0 функциональный ряд

(2.21) является числовым рядом

u1(x0 )+ u2 (x0 )+... + un (x0 )+... .

(2.22)

Как числовой ряд, ряд (2.22) сходится, если существует

lim (u1(x0 )+ u2 (x

0 )+... + un (x0 ))= lim Sn (x0 )= S(x0 ).

n→+∞

Для исследования ряда (2.22) можно применять все признаки сходимости числовых рядов. Как правило, задача состоит в

отыскании всех значений x0 , при которых ряд (2.21) сходится. Определение 2.10. Множество, состоящее из всех x0 таких,

что ряд (2.22) является сходящимся, называется областью схо-

димости функционального ряда.

При каждом x0 nlim→+∞Sn (x0 ) принимает значение S(x0 ),

зависящее от x0 , которое называют суммой ряда. Таким обра-

зом, в области сходимости ряда сумма S(x) является функцией переменной x .

Функциональный ряд 1 + x +... + xn +... является бесконечной суммой геометрической прогрессии со знаменателем x .

При x <1 ряд будет сходиться. Известно, что на интервале

(−1;1) 1 + x +... + xn +... = 1 −1 x = S(x)

при x >1 ряд расходится. Если x =1 ряд 1 +1 +... +1 +... рас-

ходится, так как

lim an

= lim 1 =1 ≠ 0 , и ряд

n→+∞

1 −1 +... + (−1)n+1 +... при x = −1, аналогично, расходится.

Пример 2.18. Найти область сходимости ряда

+... +

+....

(2.23)

1 + x2

+ x2

n + x2

Решение. Общий член ряда un (x)=

стремится к

n + x2

нулю при n → +∞, величина x2

постоянна и не влияет на это

∞

стремление. Поэтому сравним ряд (2.23) с рядом ∑

. Имеем

n=1n

lim

n + x2

= lim

=1 (0; + ∞),

+ x2

n→+∞

n→+∞ n

по второй теореме сравнения ряды сходятся и расходятся одно-

∞ 1

временно. Ряд ∑ расходится, следовательно, ряд (2.23) рас-

n=1n

ходится при любом x . Область сходимости ряда – пустое множество.

Ответ: .

Пример 2.19. Найти область сходимости ряда x + x2 +... + nx! +... .

Решение. Зафиксируем произвольное x > 0 и для числового ряда применим признак Даламбера. Учитывая, что

an =	x	,	an+1 =	x
	n!			(n +1)!

и
lim	an+1	=	lim	x	n!	=	lim	1	= 0 <1,
lim		=	lim	(n +1)!	n!	=	lim		= 0 <1,
n→+∞	an		n→+∞	(n +1)!	x		n→+∞ n +1

исходный ряд сходится при любом x > 0 . При x < 0 получим ряд с отрицательными членами, который, аналогично, будет сходиться. При x = 0 сумма исходного ряда равна нулю. Вывод: область сходимости функционального ряда – все действительные числа.

Ответ: R.

Пример 2.20. Найти область сходимости ряда

1		1	1
	+		+... +		+... .
x +1	+	4(x +1)2	+... +	n2 (x +1)n	+... .

Решение. Зафиксируем произвольное x > 0 и применим для исследования ряда радикальный признак Коши. Так как

lim n n =1, то

n→+∞

lim n

lim

= l.

n→+∞

n→+∞ n

n2 x +1n

n→+∞ (n n )2

x +1

Под знаком предела записан

в связи с тем, что ради-

кальный признак Коши применим только к рядам с положительными членами. Поставив модуль, мы исследуем ряд на абсолютную сходимость, а следовательно, и просто на сходимость. По признаку Коши

при l =				1	<1 (x (− ∞;−2) (0;+∞)) ряд сходится,
			x	+1


при l =				1	>1 (x (− 2;−1) (−1;0)) ряд расходится.
			x	+1


Если l =	1			=1 , или x = −2 , или x = 0 , то будем исследо-
		x +1

вать ряд непосредственной подстановкой x .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке диф ур

#
30.05.20152.49 Mб32Lectures - 3.pdf
#
30.05.20152.41 Mб55Lecture_on_DE_(full).pdf
#
30.05.2015883.02 Кб34Теор_курс дифуры и ряды.pdf