заочникам / диф ур / Теор_курс дифуры и ряды

52

1.3.9. Задачи для самостоятельной работы

Найти общее решение дифференциального уравнения, понизив его порядок.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

6.y′′+18sin y cos3 y = 0 , y(0)= 0 , y′(0)= 3 .

7.y′′− xy−′1 = x(x −1), y(2)=1, y′(2)= −1.

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения.

12.y′′− 2y′+ y = x +1.

13.y′′−6y′+ 25y = 2sin x +3cos x .

14.y′′− 2y′+ 2y = ex sin x . 15. y′′+9y = sin 3x − x cos3x .

Ответы: 1. y = ln sin x + c1x2 + c2x + c3 .

53

8. y = c1e−x cos 2x + c2e−x sin 2x . 9. y = c1e−x + c2e3x . 10. y = c1e−3x + c2xe−3x . 11. y = c1ex + c2e−x + (x2 − x)ex . 12. y = c1ex + c2xex + x +3 .

13. y = e3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x)+14 cos x +5sin x . 102

14.y = ex (c1 cos x + c2 sin x)−0,5xex cos x .

15.y = c1 cos3x + c2 sin 3x − 1372 x cos3x −121 x2 sin 3x .

1.4.Системы дифференциальных уравнений

1.4.1.Нормальная система дифференциальных уравнений

Определение 1.21. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной,

где

x – независимая переменная,

y1, y2 ,..., yn – неизвестные функции переменной x, f1, f2 ,..., fn – заданные функции n +1 аргумента,

называется нормальной системой дифференциальных урав-

нений.

Определение 1.22. Решением нормальной системы (1.39)

на интервале (a; b) называется система n функций

y1 = y1(x), …, yn = yn (x),

дифференцируемых на интервале (a; b) и обращающих систему (1.39) в тождества на интервале (a;b).

54

Задача Коши состоит в нахождении решения системы

(1.39), удовлетворяющего начальным условиям

Для системы (1.39) имеет место теорема о существовании и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме 1.2.

Решением системы

y1′ = y2 ,y′2 = −y1,

с начальными условиями y1(0)= 0 , y2 (0)=1, является пара функций y1 = sin x , y2 = cos x .

Определение 1.23. Общим решением системы (1.39) на-

зывается система функций

y1 = y1(x, c1, c2 ,..., cn ),

y2 = y2 (x, c1, c2 ,..., cn ), …, yn = yn (x, c1, c2 ,...,cn ),

зависящих от произвольных постоянных с1, c2 ,..., cn , если:

1) при любых значениях с1, c2 ,..., cn функции y1, y2 ,..., yn яв-

ляются решением системы (1.39); 2) при любых заданных начальных условиях (1.40) существуют

числа с10 , c02 ,...,c0n такие, что функции

y1 = y1(x, c10 , c02 ,...,c0n ), …, yn = yn (x, c10 , c02 ,...,c0n )

решают задачу Коши с условиями (1.40).

Решения, получающиеся из общего решения при конкретных значениях постоянных с1,c2 ,...,cn , называются частными решениями.

1.4.2. Метод исключений

Одним из способов нахождения общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений (1.39) является метод исключений. Он основан на утверждении: нормальная сис-

тема n уравнений (1.39) эквивалентна одному дифференциальному уравнению n-го порядка y(n ) = f (x, y, y′,..., y(n −1)).

55

Рассмотрим метод исключений на примере системы двух уравнений

Дифференцируем первое уравнение системы (1.41) по переменной x, получаем

Пусть первое уравнение системы (1.41) разрешается относительно y2 , т.е. можно записать

Тогда

Получили систему

56

Первое уравнение системы (1.42) является дифференциальным уравнением второго порядка, найдя его общее решение y1 , из

второго уравнения системы (1.42) можно найти y2 .

x′ = 3x − y,

Пример 1.26. Найти общее решение системы

y′ = x + y,

(x, y – функции переменной t).

Решение. Дифференцируем по t первое уравнение системы: x′′ = 3x′− y′. Так как x′ = 3x − y , y′ = x + y , то

x′′ = 3x′− y′ = 3(3x − y)−(x + y)= 8x − 4y .

Выражаем y из первого уравнения системы и подставляем в последнее равенство, имеем y = 3x − x′ и

x′′ = 8x − 4y = 8x − 4(3x − x′)= 4x′− 4x .

Найдем общее решение дифференциального уравнения x′′− 4x′+ 4x = 0 .

Характеристическое уравнение k2 − 4k + 4 = 0 имеет кратный корень k0 = 2 , тогда общее решение

Учитывая, что

y = 3x − x′, x = c1e2t + c2te2t , x′ = 2c1e2t + c2e2t + 2c2te2t ,

получаем

y= 3x − x′ = 3(c1e2t + c2te2t )−(2c1e2t + c2 (1+ 2t)e2t )=

=c1e2t −c2 (t +1)e2t .

Ответ: x = c1e2t + c2te2t , y = c1e2t − c2 (t +1)e2t .

1.4.3. Задачи для самостоятельной работы

57

Найти общее решение системы дифференциальных уравне-

ний.

Ответы: 1) x = c1et + c2e−3t , y = c1et −c2e−3t ;

2)x = c1 cos 2t + c2 sin 2t ,

y = (c1 − 2c2 )cos 2t + (c2 + 2c1 )sin 2t ;

3)x = c1 + c22 et + c2tet , y = c1et + c2tet .

2.РЯДЫ

2.1.Числовые ряды

2.1.1.Понятие числового ряда. Сходимость.

Свойства числовых рядов

Определение 2.1. Пусть задана бесконечная последовательность действительных чисел a1, a2 ,..., an ,.... Выражение

называется числовым рядом. Числа a1, a2 ,..., an ,... называются

членами ряда, число an называется общим членом.

∞

Сокращенно ряд (2.1) обозначается ∑an .

n=1

Примеры числовых рядов: 1) 1 + 2 + 3 +... + n +... , 2) 12 + 14 +... + 21n +...,

3) sin1 + sin 2 +... + sin n +...

и так далее.

58

Учитывая, что две дроби с одинаковыми знаменателями равны, получаем равенство 1 = Ak + 2A + Bk . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях k , имеем систему

59

k(k1+ 2) = 21k − 2(k1+ 2)

при любом k . Значит,

113 = 12 − 213 , 214 = 212 − 214 , 315 = 213 − 215 , …, (n −12)n = 2(n1− 2)− 21n , (n −1)(1n +1) = 2(n1−1)− 2(n1+1),

n(n1+ 2) = 21n − 2(n1+ 2).

Тогда

Значит, ряд сходится и его сумма равна 34 .

Ответ: 34 .

60

Рассмотрим простейшие свойства числовых рядов.

Свойство1. Если ряды

фиксированное число.

Свойство 3. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное: если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд

представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем q .

61

Известно, что Sn = a(11−−qqn ) при q ≠1.