Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теор_курс дифуры и ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

883.02 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

							62
	1		1 2			1 n			1			1 2					1 n
=	2	+	2	+	... +	2	+		3	+						+... +	3	.
	2		2			2			3			3					3

Но
										1					1 n+1
											1		−
		1		1			1 n			2	1		−
		1		1	2		1 n			2					2
			+		+... +			=
		2	+	2	+... +			=								1
		2		2			2						1 −			1
и													1 −		2
и
										1				1 n+1
											1		−
		1		1			1 n			3	1		−
		1		1	2		1 n			3				3
			+		+... +			=
		3	+	3	+... +			=							1
		3		3			3						1 −		1
													1 −		3

как суммы геометрических прогрессий со знаменателями 12 и 13 . Значит,

				1			1 n+1			1			1 n+1
					1	−					1	−
					1	−					1	−
				2		2				3		3						1		3
lim S	n	=	lim	2		2			+	3		3				=	1 +	1	=	3	.
lim S		=	lim					1	+					1		=	1 +	2	=	2	.
n→+∞			n→+∞			1 −		1				1 −		1				2		2
						1 −	2					1 −	3



Ответ:			3 .
			2
	2.1.2. Необходимый признак сходимости ряда
Теорема 2.1. Если ряд (2.1) сходится, то															lim an		= 0 .
															n→+∞
Доказательство. Если ряд (2.1) сходится, то по определе-
нию lim Sn = S , Sn – частная сумма,												S – сумма ряда. Но тогда
n→+∞

lim Sn−1 = S . Имеем
n→+∞		= lim (Sn −Sn−1 )= lim an . ■
0 = S −S = lim Sn − lim Sn−1		= lim (Sn −Sn−1 )= lim an . ■
n→+∞	n→+∞	n→+∞	n→+∞

Замечание. Из теоремы 2.1. следует достаточное условие расходимости ряда: если n – й член ряда не стремится к нулю при n → +∞, то ряд расходится.

Пример 2.5. Исследовать на сходимость ряд

1 + 3		+... +			n −1		+... .
1 + 3		+... +			n		+... .
2	4				n
Решение. Так как lim an			= lim n −1						=1 ≠ 0 , то данный
n→+∞			n→+∞				n
ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Определение 2.4. Ряд вида
1 +	1 + 1		+... + 1			+...				(2.5)
	2	3			n
называется гармоническим рядом, а ряд
1 +	1	+	1	+... +			1		+...	(2.6)
1 +	2α	+		+... +				nα	+...	(2.6)
	2α		3α					nα

называется обобщенным гармоническим рядом, α– произ-

вольная константа.

Для гармонического ряда (2.5) необходимое условие схо-

				1
димости выполняется	lim an	=	lim		= 0 , но дальнейшее

n→+∞			n→+∞ 2

исследование показывает, что сам ряд расходится. Обобщен-

ный гармонический ряд (2.6) сходится при α > 1 и расхо-

дится при α ≤ 1	∞	1	∞	1
	. Например, ряд ∑		сходится, ряд ∑	n

	n=1n4 3		n =1

расходится.

2.1.3. Признаки сравнения для рядов

с положительными членами

Далее будем рассматривать числовые ряды с положительными членами

	a1 + a2 +... + an +...	(2.7)
и	b1 + b2 +.... + bn +...,	(2.8)
an > 0 и bn > 0 при любом n .

Теорема 2.2 (первый признак сравнения). Пусть даны ря-

ды с положительными членами (2.7) и (2.8), при любом n an ≥ bn . Тогда:

1)если ряд (2.7) сходится, то и ряд (2.8) сходится;

2)если ряд (2.8) расходится, то и ряд (2.7) расходится.

Доказательство.

1. Обозначим

частичные суммы рядов

(2.7) и (2.8) через S

соответственно. Так как при любом

и S

n ~

n an

≥ bn , то Sn

≥ Sn . Если ряд (2.7) сходится, то по опреде-

лению существует

lim

. Ряд (2.7) – с положительными

n→+∞

(

)

членами, следовательно, последовательность

возрастает и

≤ S

S ≤ S . Поэтому S

≤ S , т.е. последовательность (S )

является ограниченной. Так как (Sn ) возрастающая и огра-

ниченная

последовательность,

то

существует

предел. Очевидно, что

lim S = S

S ≤ S .

n→+∞

2. Ряд (2.8) – ряд с положительными членами, значит, по-

следовательность его частичных сумм (Sn ) будет возрастаю-

щей.

Учитывая,

что

ряд

(2.8)

расходится,

получаем

как a

≥ b

Но

(так

значит,

lim S = ∞.

≥ S

n →+∞

lim Sn = ∞. Тогда по определению ряд (2.7) расходится. ■

n →+∞

Замечание. Заключение теоремы 2.2. будет верным и в случае, когда условие an ≥ bn выполняется лишь начиная с неко-

торого номера n >1.
Пример 2.6. Исследовать на сходимость ряд
1 +	2	+	3	+... +	n	+... .	(2.9)
	9		28		n3 +1
2

Решение. Общий член ряда bn = n3n+1 . Имеем

bn = n3n+1 ≤ nn3 = n12 .

Рассмотрим ряд

1 + 14 + 19 +... + n12 +...,

он сходится как обобщенный гармонический ряд при α = 2 >1 . Тогда по первому признаку сравнения ряд (2.9) тоже сходится.

Ответ: сходится.

Теорема 2.3 (второй признак сравнения). Пусть даны ря-

ды с положительными членами (2.7) и (2.8). Если существует

предел lim	an	= k ,	k (0;+∞), то оба ряда ведут себя одина-
предел lim		= k ,	k (0;+∞), то оба ряда ведут себя одина-
n→+∞ bn
ково, т.е. сходятся и расходятся одновременно.
Пример 2.7. Исследовать на сходимость ряд
		∞	( n +1 − n ).		(2.10)
		∑	( n +1 − n ).		(2.10)
		n=1
Решение. Последовательно преобразовывая общий член
ряда (2.10), получаем				( n +1 − n )( n +1 + n )
an = n +1 −			n =	( n +1 − n )( n +1 + n )	=
				n +1 + n
			=	1
			=	n +1 + n .

При n → +∞знаменатель дроби ведет себя как n , поэтому сравним ряд (2.10) с рядом

∞	1	.	(2.11)
∑	n
n=1

Так как

		1
lim		n		= lim	n +1 + n	= 2 (0;+∞),
n→+∞	1			n→+∞	n
	n +1 +		n

то ряды (2.10) и (2.11) сходятся и расходятся одновременно. Обобщенный гармонический ряд (2.11) расходится, так как

α = 12 <1, следовательно, ряд (2.10) расходится.

Ответ:

расходится.

Пример 2.8. Исследовать на сходимость ряд

∞

∑n2tg

(2.12)

n=1

Решение. При n → +∞ величина

является бесконечно

малой, поэтому при

n → +∞ функция

эквивалентна ар-

гументу

Сравним

ряд

(2.12)

с рядом

∞

∑n2

∑

, который будет сходящимся, так

как обоб-

n=1

n=1n5

∞ 1

α = 5 >1 сходится, а по

щенный гармонический ряд

∑

при

n=1n5

второму свойству для числовых рядов умножение на число π не влияет на сходимость ряда. Имеем

ππ

lim

= lim

=1 (0;+∞),

n→+∞ n2 tg

n→+∞ n2

∞ 1

значит, по второму признаку сравнения ряды (2.12) и ∑ схо-

n=1n5

дятся и расходятся одновременно. Ряд (2.12) сходится. Ответ: сходится.

2.1.4. Признак Даламбера

Теорема 2.4. Пусть дан ряд с положительными членами

			a1 + a2 +... + an +...,			(2.7)
lim	an+1	= l. Тогда: 1) если 0 ≤ l <1 , то ряд (2.7) сходится;
lim	an	= l. Тогда: 1) если 0 ≤ l <1 , то ряд (2.7) сходится;
n→+∞	an		2) если l >1, то ряд (2.7) расходится.
			2) если l >1, то ряд (2.7) расходится.
Доказательство. 1.				Пусть 0 ≤ l <1 . Зафиксируем произ-
вольное		число	q ,	для которого l < q <1.	Так	как
lim	an +1	= l < q , то начиная с некоторого номера			N ,	будет
n →+∞	an
выполняться an +1			< q . Тогда для всех n ≥ N an+1 < qan .
		an
Получим при n = N				a N+1 < qa N ,
	при n = N +1			a N+2 < qa N+1 < q2a N ,
	при n = N + 2			a N+3 < qa N+1 < q3a N ,….
Рассмотрим ряд
			a N + qa N + q2a N +....			(2.13)

Это геометрическая прогрессия со знаменателем q <1, значит, ряд (2.13) сходится. Но тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд a N+1 + a N+2 +... + an +..., который получается

из ряда (2.7) путём отбрасывания первых N слагаемых. Следовательно, по третьему свойству числовых рядов ряд (2.7) сходится.

2. Пусть l >1. Тогда начиная с некоторого номера N , бу-

дет выполняться	an+1	>1, так как lim	an+1	= l >1. Получили,
	an
		n→+∞	an
что при всех n ≥ N		an < an+1 , последовательность (an ) явля-

ется возрастающей, значит, lim an ≠ 0 . Не выполняется необ-

n→+∞

ходимое условие сходимости ряда, ряд (2.7) расходится. ■ Замечание. Если l =1, то данная теорема не дает ответа на

вопрос о сходимости ряда, нужно применять другие признаки

для исследования.

Пример 2.9. Исследовать на сходимость ряд

2 5

2 5 ... (3n −1)

1 +

1 5

+... + 1 5 ... (4n −3)

+... .

Решение. Общий член ряда

an =

2 5 ... (3n −1),

чтобы

1 5 ... (4n −3)

записать

an+1 ,

в выражение для an вместо

n поставим

n +1,

получим

an+1 =

2 5 ... (3n −1)(3n + 2)

. Вычислим предел

1 5 ... (4n −3)(4n +1)

n+1

2 5

... (3n −1)(3n +

1 5 ... (4n −

lim

= lim

1 5

... (4n −3)(4n +

n→+∞

5 ... (3n −1)

= lim

3n + 2

= 3 <1.

n→+∞

4n −3

По признаку Даламбера ряд сходится.

Ответ: сходится.

∞ (2n +1)n

Пример 2.10. Исследовать ряд

∑

на сходимость.

n=1

Решение. Применим для исследования признак Даламбера:

an =	(2n +1)n	, an+1 =	(2n + 3)n+1
				,
	n!		(n +1)!

последовательно выполняя преобразования под знаком предела, получим

n+1

(2n +

3)n+1

lim

= lim

(2n +1)!

n→+∞

(2n +1)n

lim

(2n +3)n (2n +3) n!

= lim

2n +3 n

2n +3

(n +

1) n! (2n +1)n

2n +1

n +1

n →+∞

→+∞

2n +1

2n +3

2 2

2n +1

lim

n +1

n →+∞

2n +1

2n + 3

lim

= e 2 .

e2n+1

n→+∞

(Были

использованы

свойства

пределов:

при

1 α(n )

α(n)→ 0

an + b

n → +∞ (1 + α(n))

→ e,

;

cn + d

→ c

a, b, c, d – постоянные). Так как 2e >1, то ряд расходится.

Ответ: расходится.

2.1.5. Радикальный признак Коши

Теорема 2.5. Пусть дан ряд с положительными членами

(2.7), lim n an = l . Тогда:

n→+∞

1)если 0 ≤ l <1 , то ряд (2.7) сходится,

2)если l >1, то ряд (2.7) расходится.

Замечание. Если l =1, то теорема 2.5 не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример 2.11. Исследовать на сходимость ряд

	64		n +1 n
2 +1 +		+... +		+....
	343
		n2	− n +1

		70
						n +1		n
Решение. Общий член ряда			a	n	=			. Вычисляя
Решение. Общий член ряда			a		=			. Вычисляя
предел, получаем					n2 − n +1
предел, получаем
lim n an =	lim	n +1	n		=	lim	n +1		= 0 .
lim n an =	lim	n			=	lim	− n +1		= 0 .
n→+∞	n→+∞	n2 − n +	1			n→+∞ n2	− n +1

Так как l = 0 <1, то по радикальному признаку Коши ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример 2.12. Исследовать на сходимость ряд

arctg 1

+ arctg2 1

+... + arctgn

+... .

2n +1

Решение. Учитывая, что при n → +∞ величина

яв-

2n +1

ляется бесконечно малой и arctg

, имеем

2n +1

lim n an

= lim

n arctgn

= lim arctg

n→+∞

2n +1

n→+∞

2n +1

= lim

= 0 <1.

n →+∞ 2n +1

По радикальному признаку Коши ряд сходится.

Ответ: сходится.

2.1.6. Интегральный признак Коши

Теорема 2.6. Пусть дан ряд с положительными членами (2.7), a1 ≥ a2 ≥... ≥ an ≥... , функция f (x)определена, не воз-

растает и непрерывна на полуинтервале [1; +∞), причем f (1)= a1 , f (2)= a2 ,…, f (n)= an ,…. Тогда несобственный ин-

+∞

теграл первого рода ∫f (x)dx и ряд (2.7) сходятся и расходятся

одновременно.

			+∞		+∞
Замечание. Так как				∫f (x)dx	и ∫f (x)dx	сходятся и рас-
				1	a
ходятся одновременно,		a >1, то,			решая задачи на сходимость,
+∞
можно вычислить ∫f (x)dx .
a
						+∞	1
Пример 2.13. Исследовать на сходимость ряд ∑								.
Пример 2.13. Исследовать на сходимость ряд ∑								.
						n=2 n ln n
Решение. По виду общего члена ряда an =						1	составля-
Решение. По виду общего члена ряда an =						n ln n	составля-
		1				n ln n
ем функцию f (x)=		1		. Для исследования ряда применим
ем функцию f (x)=	x ln x			. Для исследования ряда применим
	x ln x
интегральный признак Коши. Функция f (x) непрерывна и при-

нимает только положительные значения на промежутке [2;+∞).

Покажем,		что	f (x)		монотонно убывает на [2;+∞). Пусть
2 < x1 < x2 . Тогда					ln x1 < ln x2 и x1 ln x1 < x2 ln x2 , откуда
f (x1 )=		1	>		1		= f (x2 ). Итак, функция f (x) поло-
	x1 ln x1			x2 ln x		2

жительна, непрерывна и монотонно убывает на полуинтервале [2;+∞), значит, можно применить интегральный признак сходимости. Вычислив несобственный интеграл, получим

+∞

∫

= lim

∫

lim ∫ d(ln x)

lim ln(ln x)

x ln x

b→+∞

2 x ln x

b→+∞ 2

ln x

b→+∞

= lim (ln(ln b)− ln(ln 2))= +∞.

b→+∞

Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный ряд тоже расходится.

Ответ: расходится.

2.1.7. Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница

Определение 2.5. Числовой ряд

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке диф ур

#
30.05.20152.49 Mб32Lectures - 3.pdf
#
30.05.20152.41 Mб55Lecture_on_DE_(full).pdf
#
30.05.2015883.02 Кб34Теор_курс дифуры и ряды.pdf