Кинематика. Конспект лекций

УДК 531 ББК 22.21 Н34

Рекомендованы к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № от 2011г.)

Составитель: доктор технических наук, доцент Нафиков М.З.

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики и информационных технологий ФГОУ ВПО «Башкирский государственный аграрный университет» Валиев М.М.;

кафедра «Основы конструирования механизмов и машин» института механики и энергетики ГОУВПО «Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева» (протокол заседания кафедры № от 2011г.)

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики, к.т.н., доцент Масалимов И.Х.

ВВЕДЕНИЕ

Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных точек и твердых тел с геометрической точки зрения, без учета их масс и действующих сил.

Под движением в теоретической механике понимается изменение с течением времени положение данного тела по отношению к другим телам.

Время в теоретической механике рассматривают как универсальную,

непрерывно изменяющуюся скалярную величину, играющую роль независимой переменной (аргумента).

В кинематике различают кинематику точки и кинематику твердого тела. Изучение кинематики начинается с изучения кинематики точки. При этом решаются две основные задачи: 1) установление математических способов задания (описания) движения точки по отношению к данной системе отсчета; 2) определение по заданному закону движения точки всех кинематических характеристик этого движения (траектории, скорости,

ускорения и т.д.).

Непрерывная линия, которую описывает при своем движении точка,

называется траекторией этой точки.

Движение точки считается заданным, если указан способ,

позволяющий определить в положение точки в каждый момент времени относительно выбранной системы отсчета. В дальнейшем мы рассмотрим три наиболее распространенных способа задания движения точки: 1)

векторный, 2) координатный, 3) естественный.

ЛЕКЦИЯ 1. ТРИ СПОСОБА ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

1.1 Векторный способ задания движения точки

При векторном способе задания движения положение движущейся точки М задается радиусом-вектором r (рисунок 1.1). Задать движение точки можно векторным уравнением вида

Вектор скорости точки в данный момент равен первой производной по времени от радиус-вектора этой точки по времени и направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. В системе единиц СИ скорость измеряется в м/с.

Введем понятие годографа вектора скорости. Годограф вектора скорости точки представляет собой геометрическое место концов векторов скорости движущейся точки, отложенных от одной и той же произвольной точки пространства.

На рисунке 1.3, а показана точка движущаяся точка М, занимающая на траектории положения М1, М2, М3 и т.д. Вектора скорости точки в различные моменты времени 1 , 2 , 3 и т. д. Перенесем вектора скоростей в одну произвольную точку О1 (рисунок 1.3, б), через их концы В1, В2, В3 и т.д.

проведем плавную линию – годограф вектора скорости.

Рисунок 1.3 Построение годографа скорости точки Во многих случаях вектор скорости точки меняется как по величине,

так и по направлению. Об изменении вектора скорости судят по ускорению.

Пусть в момент времени t точка занимает на траектории положение М,

имеет в данный момент скорость . Через промежуток времени t

положение точки на траектории М1, ее скорость 1 .

t M r ; t t M1 1 .

Изменение скорости показано как сторона параллелограмма скоростей на рисунке 1.4. Среднее за промежуток времени t ускорение точки равно

aСР t .

Рисунок 1.4 Определение ускорение точки М в данный момент времени

Предел, к которому стремится вектор среднего ускорения при

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной от радиус-вектора. Вектор a всегда лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости криволинейной траектории. Вектор ускорения направлен по касательной к годографу скорости в соответствующей по времени точке.

В системе единиц СИ ускорение измеряется в м/с2.

1.2 Координатный способ задания движения точки

Положение точки в пространстве (рисунок 1.2) можно определить по

Например, эти уравнения могут иметь вид:

По трем составляющим определяется полная скорость точки, как диагональ прямоугольного параллелепипеда на рисунок 1.5):

x 2 y 2 z 2 .

Рисунок 1.5 Определение величины и направления вектора скорости точки

1.3 Естественный способ задания движения точки

Этот способ применяется в тех случаях, когда траектория точки заранее известна. Чтобы задать движение точки естественным способом, необходимо знать (рисунок 1.6): 1) траекторию точки; 2) начальное положение точки на

подобная зависимость может иметь вид s t 2 .

Рисунок 1.6 Естественный способ задания движения точки Определим скорость точки . Известно, что средняя за промежуток

времени t скорость равна

СР r r s ,t s t