- •Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
- •140100 Теплоэнергетика и теплотехника
- •Введение
- •1 Производная функции
- •Вопросы для самопроверки
- •2 Приложение производной к исследованию функции и построению ее графика
- •2.1 Вопросы для самопроверки
- •3 Неопределенный интеграл
- •3.1 Метод замены переменного
- •3.2 Интегрирование по частям
- •3.3 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
- •3.4 Интегрирование рациональных дробей
- •II ,, IV.
- •3.5 Вопросы для самопроверки
- •4 Определенный интеграл
- •4.1 Основные свойства определенного интеграла
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Задача №9
3.4 Интегрирование рациональных дробей
Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат, что такое представление всегда возможно.
.
Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида:
.
В частности при имеем только одно слагаемое:.
Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида:
,
а при - одно слагаемое.
Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:
Пример 20 .
Пример 21 .
Пример 22
.
Пример 23 .
Пример 24 .
Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С … . Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида:
I , III,
II ,, IV.
Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида:
,
которые находятся по рекуррентной формуле:
.
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.
Пример 25.
Решение.
.
После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:
.
Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.
Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительноА, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.
В результате получим:
.
Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.
Пример 26 .
Решение.
.
Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.
Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.
Пример 27 .
Решение.
.
Положив последовательно и, легко найдем два неизвестных коэффициента:
Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:
Тогда
.
Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.
Пример 28 .
Решение.
.
.
Положим :
Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях:
Тогда