- •Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
- •140100 Теплоэнергетика и теплотехника
- •Введение
- •1 Производная функции
- •Вопросы для самопроверки
- •2 Приложение производной к исследованию функции и построению ее графика
- •2.1 Вопросы для самопроверки
- •3 Неопределенный интеграл
- •3.1 Метод замены переменного
- •3.2 Интегрирование по частям
- •3.3 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
- •3.4 Интегрирование рациональных дробей
- •II ,, IV.
- •3.5 Вопросы для самопроверки
- •4 Определенный интеграл
- •4.1 Основные свойства определенного интеграла
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Задача №8
- •Задача №9
3.5 Вопросы для самопроверки
Что называется первообразной?
Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
В чем заключается метод замены переменной?
Какие функции целесообразно интегрировать по частям? Почему?
Как разложить рациональную дробь на простейшие?
4 Определенный интеграл
Пусть функция определена на отрезке. Разобьём этот отрезок на части точкамиПолучимчастичных отрезков длиной=каждый.
В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим в ней значение функции.
Составим сумму произведений:
.
Эта сумма называется интегральной суммой функции на отрезке. Перейдем к пределу в последнем выражении, когда максимальный из отрезков.
Если при этом сумма имеет предел, не зависящей от способа разбиения отрезкана части и от выбора точекв них, то числоназываютопределенным интегралом от функции на отрезке:
В таких случаях функцию называют интегрируемой на отрезкеи для нее справедлива теорема, утверждающая, что любая непрерывная на отрезкефункция, является интегрируемой.
4.1 Основные свойства определенного интеграла
1) ; 2);
3) ;
4) ;
5) , где- постоянная.
4.2 Правила вычисления определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница:
,
где - первообразная для.
Интегрирование по частям:
,
где и- непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке.
Замена переменной:
,
где - функция, непрерывная вместе со своей производнойна отрезке.
4)
Пример 29Вычислить:
.
Решение.
По формуле Ньютона-Лейбница будем иметь:
Пример 30.Вычислить:
.
Решение.
Используем формулу интегрирования по частям:
=
Пример 31Вычислить:
.
Решение.
Сделаем замену переменной:
;;
.
Приложения определенного интеграла
4.3.1 Вычисление площадей плоских фигур
Используя геометрический смысл определенного интеграла, нетрудно получить формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми и прямыми:
.
Пример 32
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и осью.
Решение.
Парабола пересекает ось в точкахи,
.Поэтому:(кв.ед.).
4.3.2 Вычисление объемов тел вращения
При вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями: ,,;вокруг оси, получим объем тела вращения:
.
Пример 33
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривойи прямой.
Решение.
Для построения кривой найдем точки:
при ,; при,.
А(1,0); В(2,1)
4.3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая имеет непрерывную производную на отрезке, то длина дуги этой кривой находится по формуле:
.
Пример 34
Найти длину дуги кривой отдо().
Решение.
Найдем . Тогда.
4.4 Вопросы для самопроверки
Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?
Что называется определенным интегралом?
Каковы геометрический и физический смыслы определенного интеграла?
Назовите основные свойства определенного интеграла.
Назовите основные методы (правила) вычисления определенного интеграла.
Перечислите основные приложения определенного интеграла.
Индивидуальные задания для контрольной работы №2
Задача №1
Найти производные функций
1. а) , б),
в) , г),
д) .
2. а) , б),
в) , г),
д) .
3. а) , б),
в) , г).
д) .
4. а) , б),
в) , г),
д) .
5. а) , б),
в) , г),
д) .
6. а) , б),
в) , г),
д) .
7. а) , б),
в) , г),
д) .
8. а) , б),
в) , г),
д) .
9. а) , б),
в) , г),
д) .
10. а) , б),
в) , г),
д) .
11. а) , б),
в) , г),
д)
12. а) , б),
в) , г),
д)
13. а) , б),
в) , г),
д)
14. а) , б),
в) , г),
д)
15. а) , б),
в) , г),
д)
16. а) , б),
в) , г),
д)
17. а) , б),
в) , г),
д)
18. а) б)
в) г),
д)
19. а) , б),
в) , г),
д)
20. а) , б),
в) , г),
д)
Задача №2
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее графики:
1. . 7.. 14..
2. . 8.. 15..
3. . 9.. 16..
4. . 10.. 17..
5. . 11.. 18..
6. . 12.. 19..
13. . 20..
Задача №3
Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменного).
1. 7.14.
2. 8.15.
3. 9.16.
4. 10.17.
5. 11.18.
6. 12.19.
13. 20.