2) Существует ф-ция в каждой точке непрерывная и не в 1ой точке, не имеющая производной.

Производная стремится к бесконечности, когда касательная более перпендикулярна к оси Х.

Билет №16.Дифференциал ф-ции. Произв. Суммы, произведения и отношения 2х ф-ций.

Дифференциал - главная линейная часть приращения ф-ции. Если ф-ция y = f (x) 1го переменного х имеет при х = х₀ производную, то приращение  Δy = f (x₀ + Δx) - f (x₀)  ф-ции f (x) можно представить в виде  Δy = f' (x₀) Δx + R, 

где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член dy = f' (x₀) Δх

называется дифференциалом функции f (x) в точке x₀. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство

Δy = dy + R показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Δy.

1.Дифференциалом ф-ции называется произведение производной на приращение независимой переменной dy=f'(x)*Δx

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной =>

dy=f'(x)*dx или f'(x)=dy/dx

Также знак дифференциала используется в обозначении Лейбница для производной . Это обозначение мотивировано тем, что для дифференциалов ф-ции и тождественной ф-ции  верно соотношени

2.Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику в точке (х;у) при изменении x на велечину Δx=dx

Правила дифференцирования.

Билет № 17. Производная сложной функции. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем ф-цию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя ф-ция называется ф-цией от ф-ции или сложной ф-цией.

Областью определения ф-ции y = f(u(x)) является либо вся область определения ф-ции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения ф-ции y= f(u).

Теорема. Если ф-ция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а ф-ция y= f(u) имеет в точке u производную y'_u= f '(u₀), то сложная ф-ция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y'_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной ф-ции равна произведению производной данной ф-ции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Итак, чтобы продифференцировать сложную ф-цию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" ф-ции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" ф-ции по независимой переменной.

Если ф-цию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y'_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y'_x = y'_u·u'_x. Применяя эту же теорему для u'_x получаем , т.е.

y'_x = y'_x · u'_x· v '_x = f'_u (u)·u'_v (v)·v'_x (x).

Примеры: :

:

Билет № 18. Обратная функция и ее производная.

Функция  является обратной к ф-ции , если выполнены следующие тождества:

 для всех 

 для всех 

Чтобы найти обратную ф-цию, нужно решить уравнение  относительно . Если оно имеет более чем 1 корень, то ф-ции обратной к  не существует. Таким образом, функция  обратима на интервале  тогда и только тогда, когда на этом интервале она обратима однозначно.

Для непрерывной ф-ции  выразить  из уравнения  возможно в том и только том случае, когда ф-ция  монотонна. Тем не менее, непрерывную ф-цию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например,  является обратной ф-цией к  на , хотя на промежутке  обратная функция другая: .

Пусть  - дифференцируемая ф-ция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении  y считать аргументом, а x - ф-цией, то возникает новая ф-ция , где  - ф-ция обратная данной.

Теорема о дифференцировании обратной функции

Для дифференцируемой ф-ции с производной, отличной от нуля, производная обратной ф-ции равна обратной величине производной данной ф-ции

Для арксинуса:

Для арктангенса:

Билет 19. Теорема Лагранжа

Пусть ф-ция    дифференцируема в открытом промежутке    и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка  , что

Следствие 1. В частном случае, когда  , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка  , в которой производная ф-ции   равна нулю:  . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. 

Следствие 2. Если    во всех точках некоторого промежутка  , то   в этом промежутке. Действительно, пусть    и    – произвольные точки промежутка    и  . Применяя т. Лагранжа к промежутку  , получим

Билет №20. Правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя - метод нахождения пределов ф-ций, раскрывающий неопределённости вида  и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения ф-ций равен пределу отношения их производных.

Теорема Лопиталя:

1.  либо ;

2.  и  дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3.  в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Билет №21. Производные высшего порядка. Формула Лейбница.

Пусть y = f(x) является дифференцируемой ф-цией. Тогда производная также представляет собой

ф-цию от x. Если и она является дифференцируемой ф-цией, то мы можем найти 2ую производную ф-ции f, которая обозначается в виде f''=(f')'=(dy/dx)=d/dx(dy/dx)=d2y/dx2

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить 3ю производную ф-ции f: f'''=(f'')'=d3y/dx3

Производные более высокого порядка (если существуют), определяются как f''''=(f''')'=d4y/dx4

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формул

Ф-ла Лейбница для -ой производной произведения 2 ф-ций - обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) 2х функций на случай -кратного дифференцирования.

Пусть функции  и  —  раз дифференцируемые функции, тогда где  — биномиальные коэфф.

(пример) В случае , например, имеем:

При  получается известное правило производной произведения: