Билет №25. Исследование функции на выпуклость.

Производная второго порядка

Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от f и обозначают :

2ая производная от параметрической ф-ции x = x (t) и y = y (t) задается формулой:

2ую производную иногда обозначают:

2ая производная определяет скорость изменения скорости или ускорение.

Дважды дифференцируемая на [a; b] ф-ция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [a; b] ф-ция f (x) выпукла вниз, если для любого

Билет №26. План исследования функции и построение ее графика.

Найти область определения функции x∈(-∞;1) ∪(1; +∞)

1. Определить, является ли функция четной, нечетной или общего вида (Не обладает четностью)

2. Определить нули и промежутки знакопостоянства функции

- + + x

0 1

4) Выяснить поведение ф-ции на границе области определения, т.е. найти односторонние пределы в точках, не принадлежащих к области определения

x→1+0 x→1-0

5)Выяснить поведение функции на бесконечности

x→+∞ x→-∞

6)Найти наклонные асимптоты - по отдельности для x→+∞ и x→-∞, или убедиться в их отсутствии y=kx+b

x→+∞ x→-∞

x→-∞ x→-∞

y=x+2

7)Найти первую производную, определить критические точки и промежутки знакопостоянства первой производной. Определить промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума.

Билет №27. Предельные величины в экономике.

Неоклассическое направление исследует поведение т.н. экономического человека (потребителя, предпринимателя, наёмного работника), который стремится максимизировать доход и минимизировать затраты. Основные категории анализа - предельные величины (т.н. Маржинализм). 

Предельный доход (marginal revenue - MR), также маржинальный доход, предельная выручка — дополнительный доход, получаемый от продажи дополнительной единицы товара. Предельный доход также характеризуется как доход, полученный от реализации после возмещения переменных затрат. Предельный доход является источником образования прибыли и покрытия постоянных затрат. Предельный доход является промежуточным показателем изменения прибыли и формально высчитывается как производная функции прибыли П(х)

Предельные издержки (marginal cost - MC) - показатель предельного анализа производственной деятельности, дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Для каждого уровня производства существует особое, отличное от других значение предельных издержек.

Математически они выступают как частные производные функции издержек С(x) по данному виду деятельности:.

Маржинальная прибыль — прирост общей суммы прибыли, полученной фирмой от продажи дополнительной единицы продукции^[1].

• Общая выручка (total revenue, TR) - цена(P) за ед. товара, помноженная на кол-во проданного товара(Q). TR = P*Q

• Общие издержки (total cost, TC) - затраты фирмы на производство всей продукции.

• Прибыль фирмы (profit) - разница между общей выручкой и общими затратами. П = TR - TC.

• Дополнительная выручка (marginal revenue, MR) - выручка от производства 1 дополнительной ед. продукции. Т.е. если фирма производит 10 ед. продукции( Q=10), то добав. выручка считается как увеличение общей выручки (TR) от производства 11-й ед. продукции. MR=TR(11)-TR(10).

• Дополнительные издержки (marginal cost, MC): величина, на которую изменяются общие издержки при выпуске дополнительной ед. продукции называется marginal cost, или добавочные(дополнительные) издержки.

На основании соотношения MC и MR фирма, ставящая цель увеличить прибыль, регулирует количество выпускаемой продукции.

• Пока MR(добавочная выручка) больше MC (добавочных издержек), фирма увеличивает производство, так как еë прибыль растет от выпуска дополнительной единицы продукции.

• При MR = MC фирме стоит остановиться в наращивании объемов выпуска.

• При MR < MC фирме стоит пересмотреть свою политику по кол-ву выпуска продукции, но это не всегда значит, что ей стоит немедленно уменьшать количество производимой продукции.