Билет №4. Свойства пределов числовой последовательности .

Предел числовой последовательности - такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого удаление членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Аддитивность. Предел суммы числовых посл-стей есть сумма их пределов, если каждый из них сущ-ет.

Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

Предел произведения числовых

посл-стей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них сущ-ет.

Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах.

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только 1 предел.

• Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Если у последовательности  существует предел, то последовательность средних арифметических  имеет тот же предел.

• Если у последовательности чисел  существует предел , и если задана функция , определенная для каждого  и непрерывная в точке , то

Билет №5. Пределы ф-ций. Свойства пределов ф-ций.

=a

Значение a называется пределом функции f(x) в точке , если для любого 0

выполняется неравенство .

Значение a называется пределом функции   в точке , если для любой последовательности точек , стремящейся к , но не содержащей  в качестве 1го из своих элементов (то есть в проколотой окрестности  ), последовательность значений функции   стремится к а.

Значение  называется пределом  функции  в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа  найдётся отвечающее ему положительное число  такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Односторонний предел числовой ф-ции в точке - это специфический предел, подразумевающий, что аргумент ф-ции приближается к указанной точке с слева или справа. Числовая ф-ция имеет предел в точке <=> она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы. Пусть даны ф-ции  и .

• Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел

• Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где  — проколотая окрестность точки .

• В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

• Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

• Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

• Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

• Правило двух милиционеров

• Предел суммы равен сумме пределов:

• Предел разности равен разности пределов:

• Предел произведения равен произведению пределов:

• Предел частного равен частному пределов.