DisMathTPU_new

и для импликации (0 ! a = 1, 1 ! a = a); способ получения этих свойств был рассмотрен в подразделе 4.4 ]

= x [yz=z] _ x [1=z] = x [yz=z] _ x z =

[ разложим коэффициент при x по переменной z (она встречается в подформуле чаще y) ]

= x [z (y1=1) _ z (y0=0)] _ x z = x [z (y=0) _ z (0=1)] _ x z =

[ используем свойство 0 для штриха Шеффера ( 0=a = 1) и закон исключенного третьего ]

= x [z 1 _ z 1] _ x z = x [z _ z] _ x z = x _ x z:

Полученная формула является ДНФ.

8.6. Упражнения

Упр.1. На матрице Грея для пяти переменных построить интервалы, задающие конъюнкции:

K1 = x1x3x5; K2 = x2x4; K3 = x1x2x3x4x5; K4 = x1, K5 = x2x3x4:

Упр.2. Записать конъюнкции, заданные интервалами I1 I6.

c

Упр.3. Преобразовать ДНФ1 ÄÍÔ4 в совершенные ДНФ и проверить результат построеíием матриц Грея.

ÄÍÔ1 = a d _ b c d _ a b d, ÄÍÔ2 = a b _ a c _ a b,

ÄÍÔ3 = a d _ b d _ a b, ÄÍÔ4 = x y z t _ x y _ xy z.

51

Упр.4. Построить ДНФ из конъюнкций ранга 3 и менее по матри-

Упр.5. На каждой матрице Грея выделить достаточное множество максимальных интервалов и построить по ним ДНФ.

Упр.6. Построить ДНФ по формулам F1 F4 и проверить пра- вильность вычислений построением таблиц истинности.

F3 = y # (x yz) ,! y _ z;

F4 = x y=(z y) _ (x t y).

9. Сокращенная, кратчайшая, минимальная и безызбыточная ДНФ

9.1. Импликанты функции и сокращенная ДНФ

Рассмотрим булевы функции f(x1; : : : ; xn) è g(x1; : : : ; xn). Определение. Булева функция g(x1; : : : ; xn) называется импли-

кантой функции f(x1; : : : ; xn), åñëè

g(x1; : : : ; xn) ! f(x1; : : : ; xn) 1:

Так как x ! y = 0 только на наборе 10, то для того, чтобы функция g(x1; : : : ; xn) была импликантой функции f(x1; : : : ; xn) достаточ- но, чтобы на всех тех наборах , на которых g( ) = 1, функция f(x1; : : : ; xn) также принимала значение 1.

52

Примеры. Пусть функция f(x; y; z) задана матрицей Грея (левая матрица на рисунке). Функция g(x; y; z) и конъюнкции K1 = x y z, K2 = z (три правые матрицы) ее импликанты.

Очевидно, что если K любая конъюнкция ДНФf , то K является импликантой функции f(x1; : : : ; xn) и задается допустимым для функции f(x1; : : : ; xn) интервалом IK.

Определение. Элементарная конъюнкция K называется простой

импликантой функции f(x1; : : : ; xn), если она является импликантой этой функции, и не существует другой конъюнкции K0, которая яв-

ляется импликантой функции f(x1; : : : ; xn) и поглощает K. Примеры. Рассмотрим функцию f(x; y; z) из предыдущего при-

мера. Конъюнкция K2 = z простая импликанта данной функции, а конъюнция K1 = x y z импликанта, но не простая, так как она поглощается импликантой K2.

Другими словами, простая импликанта булевой функции это такая импликанта-конъюкция, которая не может быть упрощена выбрасыванием из нее переменных, то есть неупрощаемая конъюнкция. Это означает, что любая простая импликанта K булевой функции задается

максимальным для этой функции интервалом IK.

Определение. ДНФ, состоящая из всех простых импликант булевой функции f(x1; : : : ; xn), называется сокращенной ДНФ этой функ-

ции (или СокрДНФ f ).

Из определения следует, что сокращенная ДНФ единственна для данной функции, то есть наряду с СовДНФ и СовКНФ она является еще одной канонической формой представления булевой функции.

В общем случае построение сокращенной ДНФ является довольно сложной задачей, которая будет рассмотрена нами далее. Однако для булевой функции небольшого числа аргументов, заданной матрицей Грея, найти сокращенную ДНФ (или множество всех максимальных интервалов) довольно просто, и мы уже решали такую задачу для мажоритарной функции в подразделе 3.3, изучая интервальный способ задания булевой функции.

53

Примеры. Найдем сокращенные ДНФ функций из предыдущего примера: f(x; y; z), g(x; y; z), и функции h(x; y; z).

СокрДНФh сложнее она состоит из шести простых импликант, поэтому для наглядности изображена на двух матрицах Грея:

I1 СокрДНФh = y z _ x z _ x y _ x z _ x y _ y z: K1 K2 K3 K4 K5 K6

Обратим внимание на то, что термин сокращенная относится не к длине ДНФ (она может быть большой, значительно больше длины совершенной ДНФ), а к рангам всех ее конъюнкций ранги неупрощаемых конъюнкций (именно из них состоит сокращенная ДНФ) не могут быть уменьшены.

9.2. Минимальная и кратчайшая ДНФ

Определение. Минимальной ДНФ (МинДНФf ) булевой функции f(x1; : : : ; xn) называется ДНФ наименьшего ранга из всех ДНФ, задающих функцию f(x1; : : : ; xn).

Определение. Кратчайшей ДНФ (КратДНФ f ) булевой функции f(x1; : : : ; xn) называется ДНФ наименьшей длины из всех ДНФ, задающих функцию f(x1; : : : ; xn).

Методы поиска минимальной и кратчайшей ДНФ будут рассмотрены далее, пока же найдем их визуально по матрице Грея.

54

Примеры. Для функции f(x; y; z) из предыдущего примера сокращенная ДНФ является и кратчайшей, и минимальной:

МинДНФf = КратДНФf = z _ x y (длины 2, ранга 3).

Однако эта функция имеет еще одну кратчайшую ДНФ:

z y

КратДНФ0f = z _ x y z (длины 2, ранга 4).

Доказательство (конструктивное). Рассмотрим булеву функцию f(x1; : : : ; xn). Докажем сначала вспомогательный результат. Пусть булева функция g(x1; : : : ; xn) импликанта функции f(x1; : : : ; xn), тогда

g(x1; : : : ; xn) _ f(x1; : : : ; xn) = f(x1; : : : ; xn):

Åñëè g(x1; : : : ; xn) = 0, то обе части выражения равны f(x1; : : : ; xn). Åñëè g(x1; : : : ; xn) = 1, òî è f(x1; : : : ; xn) = 1 (òàê êàê g(x1; : : : ; xn)

импликанта функции f(x1; : : : ; xn)), а значит, обе части равны 1. Рассмотрим теперь КратДНФf функции f(x1; : : : ; xn).

КратДНФf = K1 _ K2 _ : : : _ Kl:

Если все ее конъюнкции являются простыми импликантами функции, то кратчайшая ДНФ, состоящая из простых импликант, найдена. Ина- че пусть K1 не простая импликанта функции f(x1; : : : ; xn), тогда существует простая импликанта K10 такая, что K1 _ K10 = K10 . Ïî äî- казанному верно

КратДНФf = K10 _ КратДНФf = K10 _ K1 _ K2 _ : : : _ Kl = = K10 _ K2 _ : : : _ Kl = КратДНФ0f :

Длина КратДНФ0

f равна длине КратДНФf . Повторив те же рассуждения для всех остальных конъюнкций КратДНФ 0

f , мы получим крат- чайшую ДНФ функции f(x1; : : : ; xn), состоящую только из простых импликант.

55

Определение. Назовем простой кратчайшей ДНФ булевой функции f(x1; : : : ; xn) ее кратчайшую ДНФ, состоящую только из простых импликант.

Далее из всех кратчайших ДНФ нас будут интересовать только простые кратчайшие ДНФ, так как помимо минимальной длины они имеют и меньший ранг каждой конъюнкции. Однако называть и обозначать простые кратчайшие ДНФ функции f(x1; : : : ; xn) будем по-

прежнему КратДНФf .

Пример. Рассмотрим функцию f(x; y; z), которая имеет две про-

стые кратчайшие ДНФ.

Для минимальных ДНФ справедливо более сильное утверждение, чем для кратчайших.

Теорема о минимальных ДНФ. Любая минимальная ДНФ булевой функции состоит из простых импликант.

Доказательство (от противного). Рассмотрим произвольную функцию f(x1; : : : ; xn). Предположим, что в ее минимальной ДНФ одна из конъюнкций не является простой импликантой функции.

МинДНФf = K1 _ K2 _ : : : _ Kl:

Пусть K1 не простая импликанта функции f(x1; : : : ; xn), тогда най- дется ее простая импликанта K10 такая, что K1_K10 = K10 . Êàê áûëî ïî-

казано при доказательстве предыдущей теоремы, если в МинДНФ f заменить конъюнкцию K1 на конъюнкцию K10 , то получившаяся ДНФf

будет равносильна исходной. При этом ДНФ f будет иметь меньший ранг, чем МинДНФf , так как конъюнкция K10 имеет меньший ранг, ÷åì K1, что противоречит тому, что МинДНФ f является минимальной ДНФ функции f(x1; : : : ; xn).

Итак, если булева функция задана матрицей Грея, то:

для построения сокращенной ДНФ необходимо выделить все максимальные интервалы;

56

для построения кратчайшей ДНФ их достаточное множество минимальной мощности;

для построения минимальной ДНФ такое достаточное множество максимальных интервалов, сумма рангов которых минимальна.

Примеры. Найдем сокращенную, все кратчайшие и минимальные

ДНФ функции f(a; b; c; d):

На левой матрице показано множество всех максимальных интервалов (их номера можно найти на двух других матрицах).

СокрДНФf = a b c _ a b d _ a b c _ a b d _ a c d _ a b d _ a b c _ c d: K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8

В центре показано достаточное множество из пяти максимальных интервалов fI1; I2; I3; I4; I5g. Никакие четыре из восьми максимальных интервалов не образуют достаточного множества, следовательно, ДНФ, состоящая из конъюнкций, заданных интервалами I1 I5, ÿâ- ляется кратчайшей (длины 5, ранга 15):

КратДНФf = a b c _ a b d _ a b c _ a b d _ a c d.

Справа показано достаточное множество из пяти максимальных интервалов fI1; I2; I6; I7; I8g. Никакое другое достаточное множество не дает меньшей суммы рангов, следовательно, соответствующая ДНФ является минимальной (длины 5, ранга 14):

МинДНФf = a b c _ a b d _ a b d _ a b c _ c d. K1 K2 K6 K7 K8

Обратим внимание, что в данном случае КратДНФ f не является

минимальной, а МинДНФf является кратчайшей. Других кратчайших и минимальных ДНФ эта функция не имеет (напомним, что мы рассматриваем только простые кратчайшие ДНФ).

57

9.3. Безызбыточная ДНФ

Определение. ДНФ булевой функции f(x1; : : : ; xn) называется

безызбыточной ДНФ (БезДНФf ), если из нее нельзя удалить ни одной конъюнкции и ни одной переменной из конъюнкции так, чтобы она оставалась равносильной исходной ДНФ.

В частности, безызбыточной является любая минимальная и любая кратчайшая ДНФ (не простая кратчайшая ДНФ явно избыточна).

Методы поиска безызбыточных ДНФ будут рассмотрены далее. Здесь же мы найдем безызбыточную ДНФ по матрице Грея. Для этого необходимо найти такое достаточное множество максимальных интервалов, чтобы при удалении любого интервала оно переставало быть достаточным.

Примеры. Рассмотрим функцию из предыдущего примера.

Слева выделено достаточное множество из пяти интервалов, ни

один из которых нельзя удалить так, чтобы множество оставалось до- статочным. Но интервал I0 не максимальный, так как он может быть

расширен по первой компоненте, то есть из конъюнкции K0 = a c d можно удалить переменную a. Поэтому ДНФ, состоящая из конъ-

юнкций, заданных этими интервалами, не является безызбыточной, но если упростить K0, то ДНФ станет безызбыточной и совпадет с

МинДНФ из предыдущего примера.

В центре выделено достаточное множество из шести максимальных интервалов, которое является избыточным, так как интервал I00

может быть удален, а множество при этом останется достаточным. Поэтому ДНФ, состоящая из конъюнкций, заданных шестью выде-

ленными интервалами, не является безызбыточной, но если удалить интервал I00, то ДНФ станет безызбыточной и совпадет с кратчайшей

ДНФ из предыдущего примера.

58

Справа выделено достаточное множество If из шести максималь- ных интервалов. Удаление любого из них приводит к тому, что множество перестает быть достаточным. Поэтому множество If задает безызбыточную ДНФ (длины 6, ранга 17):

БезДНФf = a b c _ a b d _ a b d _ a c d _ a b d _ c d. K1 K2 K4 K5 K6 K8

Сравнение длин и рангов ДНФ из двух последних примеров, показывает, что эта безызбыточная ДНФ не является ни кратчайшей, ни минимальной.

Обратим внимание, что все конъюнкции, задаваемые ядерными интервалами (в нашем примере это интервалы I1 è I2), входят во все безызбыточные ДНФ, в том числе во все кратчайшие и минимальные.

9.4. Кратчайшие ДНФ элементарных функций

Рассмотрим элементарные булевы функции двух аргументов. Формулы для конъюнкции ab и дизъюнкции a_b являются их кратчайши-

ми ДНФ. Представим остальные элементарные функции матрицами Грея и найдем их кратчайшие ДНФ.

Кратчайшие ДНФ элементарных булевых функций можно использовать для получения ДНФ функций, заданных формулами. При этом запоминать кратчайшие ДНФ совсем не обязательно, так как они легко выводятся.

59

Пример. Пусть булева функция задана формулой

f(x; y; z) = (x ! yz)=(x z):

Подставим в формулу кратчайшую ДНФ штриха Шеффера a=b = a_b

ïðè a = (x ! yz) è b = (x z):

f(x; y; z) = (x ! yz)=(x z) = (x ! yz) _ (x z) =

[ инверсию инверсию импликации заменим не импликацией, а инверсию дизъюнкции с исключеíием эквивалентностью, подсòавим их кратчайшие ДНФ a ,! b = ab при a = x, b = yz и a b = ab _ ab при

a = x, b = z ]

= (x ,! yz) _ (x z) = (xyz) _ (x z _ x z) =

[ используем законы де Моргана, а затем законы ассоциативности и дистрибутивности ]

= x(y _ z) _ (x z _ x z) = xy _ xz _ x z _ x z =

[упростим выражение на основании закона склеивания ]

=xy _ z _ x z = ÄÍÔ0f :

Âразделе 8.5 для этой же функции разложением Шеннона была получена другая ДНФf = x _ x z. В результате имеем

Убедимся в том, что они равносильны, построив матрицы Грея:

I3 I5

Разумеется, для получения ДНФ по формуле можно использовать оба рассмотренных способа одновременно, например, сначала разложить функцию по Шеннону, а потом подставить в коэффициенты разложения кратчайшие ДНФ элементарных функций. Заметим, что при применении разложения Шеннона все пары конъюнкций ДНФ являются ортогональными.

60