Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

DisMathTPU_new

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

753.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

14. Контрольная работа 4

Тема контрольной работы: минимизация систем неполностью определенных булевых функций.

Дана система функций F. Минимизировать ее визуально и методом

конкурирующих интервалов, сравнить полученные системы ДНФ по длине и рангу.

Задания на контрольную работу (система функций F)

131

10)

132

11)

12)

13)

14)

15)

16)

133

17)

18)

19)

20)

21)

22)

134

23)

24)

25)

26)

27)

28)

135

29)

30)

15. Важнейшие замкнутые классы булевых функций

Определение. Булева функция f(x1; : : : ; xn) называется суперпозицией булевых функций

f0(y1; : : : ; ym); f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn);

åñëè f(x1; : : : ; xn) представима через них формулой

F = f0(f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn)):

Пример. Пусть заданы булевы функции:

f0(y1; y2; y3) = y1y2 ! y3 y1;

f1(a; b) = a _ b; f2(a; b; c) = b # ac; f3(a; b; c) = a ! b ! c:

Их суперпозицией является функция

f(a; b; c) = (a _ b)(b # ac) ! (a ! b ! c) (a _ b):

Определение. Множество булевых функций K называется замкнутым классом, если суперпозиция любых функций из множества K принадлежит этому же множеству K.

Класс в данном контексте является синонимом множества.

136

Множество всех булевых функций является замкнутым классом, так как суперпозиция любых булевых функций есть булева функция. Более того, некоторые подмножества булевых функций также являются замкнутыми классами. Пять из них, как наиболее важных для нас, мы рассмотрим в данном разделе.

15.1. Класс булевых функций, сохраняющих константу 0

Определение. Булева функция сохраняет константу 0 (принад- лежит классу T 0), если на наборе из всех нулей функция принимает

значение ноль.

Примеры. Мажоритарная булева функция сохраняет константу 0 x y z f(x; y; z)

0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Из элементарных булевых функций классу T 0 принадлежат, напри-

мер, конъюнкция и тождественная функция; не принадлежат классу T 0, например, штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Утверждение о числе булевых функций класса T 0. Число

различных булевых функций, зависящих от n переменных и сохраняющих константу 0, равно 22n 1:

Доказательство. Число различных булевых функций n аргумен- тов равно 22n (по теореме о числе булевых функций). В векторном

представлении булевых функций первая компонента задает значение функции на наборе из всех нулей. Ровно половина из 22n векторов

содержит в первой компоненте ноль, поэтому число функций, сохраняющих константу 0, есть 22n=2 = 22n 1.

Пример. Из 16 булевых функций двух аргументов x1, x2 8 ôóíê-

öèé (222 1) принадлежат классу	T	0: 0,	^	,	_	,		, , , - и тождественные
	T		^		_			!

функции x1 è x2.

137

Теорема о замкнутости класса T 0. Множество всех булевых функций, сохраняющих константу 0, является замкнутым классом.

Доказательство. Рассмотрим суперпозицию любых булевых функ- öèé èç T 0, то есть функцию

f(x1; : : : ; xn) = f0(f1(x1; : : : ; xn); : : : ; fm(x1; : : : ; xn));

и покажем, что на наборе из всех нулей она принимает значение ноль.

f(0; : : : ; 0) = f0(f1(0; : : : ; 0); : : : ; fm(0; : : : ; 0)) =

[учтем, что f1(x1; : : : ; xn) 2 T 0; : : : ; fm(x1; : : : ; xn) 2 T 0 ]

=f0(0; : : : ; 0) = [ учтем, что f0(y1; : : : ; ym) 2 T 0 ] = 0:

Из этого следует, что суперпозиция f(x1; : : : ; xn) принадлежит классу T 0, значит, класс T 0 замкнут.

Лемма о булевой функции, не сохраняющей константу 0.

Если булева функция не сохраняет константу 0, то из нее подстановкой вместо каждого аргумента переменной x можно получить либо

константу 1, либо инверсию x.

Доказательство. Рассмотрим булеву функцию f(x1; : : : ; xn), не сохраняющую константу 0. Заменив каждый ее аргумент xi на x (такая подстановка допустима по условию леммы), получим функцию одного аргумента g(x) = f(x; : : : ; x): Ясно, что g(0) = f(0; : : : ; 0) = 1; так как f(x1; : : : ; xn) 2= T 0: Если g(1) = 1, то g(x) константа 1. Если g(1) = 0, то g(x) = x.

Примеры. Рассмотрим две функции, не сохраняющие константу 0: стрелку Пирса a # b и импликацию a ! b. Подставляя в них вместо

аргументов переменную x, получаем:

x # x = x; x ! x = 1:

15.2. Класс булевых функций, сохраняющих константу 1

Определение. Булева функция сохраняет константу 1 (принад- лежит классу T 1), если на наборе из всех единиц функция принимает

значение единица.

138

Примеры. Мажоритарная булева функция сохраняет константу 1. Из элементарных булевых функций таковыми являются, например, дизъюнкция и конъюнкция. Не сохраняют константу 1, например, штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Утверждение о числе булевых функций класса T 1. Число

различных булевых функций, зависящих от n переменных и сохраняющих константу 1, равно 22n 1:

Пример. Из 16 булевых функций двух аргументов x1; x2 8 ôóíê- öèé (222 1) принадлежат классу T 1: 1, ^, _, , !, и тождественные

функции x1 è x2.

Теорема о замкнутости класса T 1. Множество всех булевых функций, сохраняющих константу 1, является замкнутым классом.

Доказательства утверждения и теоремы аналогичны доказательствам соответствующих результатов для класса T 0.

15.3. Класс линейных булевых функций 15.3.1. Полином Жегалкина

Определение. Положительной конъюнкцией называется элемен-

тарная конъюнкция, не содержащая инверсий переменных. Договоримся обозначать положительную конъюнкцию через K+.

Примеры. K1+ = x1x2x3, K2+ = x4, K3+ = 1.

Определение. Полиномом Жегалкина, или алгебраической нормальной формой (АНФ), булевой функции f(x1; : : : ; xn) называется дизъюнкция с исключением различных положительных конъюнкций переменных из множества X = fx1; : : : ; xng, то есть формула вида

P = K1+ : : : Kp+;

задающая функцию f(x1; : : : ; xn).

Пример. P = x1x3 x1x2x4 x2 1 полином Жегалкина.

Определение. Длиной полинома Жегалкина назовем количество конъюнкций в полиноме, а его степенью наибольший из рангов конъюнкций, входящих в полином.

Пример. Длина полинома Жегалкина из предыдущего примера равна 4, а степень 3.

139

Условимся считать константу 0 полиномом длины и степени 0. Определение. Полином Жегалкина называется линейным, если

его степень не превышает единицы.

Примеры. P1 = 1, P2 = x y 1 линейные полиномы. Напомним основные равносильности для дизъюнкции с исключе-

нием (С.27 28), необходимые для дальнейших рассуждений.

Свойства 0 и 1:	x 0 = x; x 1 =		.
		x
Закон коммутативности:	x y = y x.
Закон ассоциативности:	x (y z) = (x y) z = x y z.
Закон дистрибутивности:	x(y z) = xy xz.

Добавим к ним еще две равносильности (первая очевидна, доказательство второй предоставляется читателю):

x x = 0;

x _ y = x y xy:

Если в последней равносильности переменные заменить конюнкциями, то получим:

K1 _ K2 = K1 K2 K1K2:

Для ортогональных конъюнкций равносильность примет вид:

K1 _ K2 = K1 K2:

В частности, совершенная ДНФ булевой функции f(x1; : : : ; xn) состоит из попарно ортогональных конъюнкций, значит

1	_		c1	cn		M		c1	cn
1	_		f	: : : xn =		M		f	: : : xn :
f(x1; : : : ; xn) =			x1	: : : xn =	c1	::: cn		x1	: : : xn :
c ::: cn		2	M1		c1	::: cn	2	M1
		2					2

Теорема о существовании полинома Жегалкина. Любая булева функция представима полиномом Жегалкина.

Доказательство. Константа 0 это полином Жегалкина по договоренности. Любая другая булева функция f(x1; : : : ; xn) представима совершенной ДНФ (С. 41), а значит, как только что было показано, и формулой вида:

f(x1; : : : ; xn) = M xc11 : : : xcnn:

c1::: cn2Mf1

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1814 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019158.72 Кб3Diagramma_otchet.doc
#
29.05.20153.1 Mб51DIF_calc_2013.pdf
#
29.05.20152.58 Mб46Diplom.docx
#
29.05.20155.95 Mб19Diplom_na_pechat.doc
#
29.05.2015753.61 Кб65DisMathTPU.pdf
#
29.05.2015753.84 Кб63DisMathTPU_new.pdf
#
29.05.20158.69 Mб33dissertatsia.doc
#
25.03.2016419.15 Кб4Dokument_Microsoft_Office_Word_2.PDF
#
29.05.2015118.78 Кб20Dokument_Microsoft_Word (1).doc
#
23.12.201838.93 Кб4Dokument_Microsoft_Word_4.docx
#
23.12.201891.1 Кб3Dokument_Microsoft_Word_5.docx