Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

DisMathTPU_new

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

753.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Построим теперь кратчайшую систему ДНФ для F.

f(a; b; c; d)

g(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

8ÄÍÔf = a d _ a b _

_ b c d;9

K L

>ÄÍÔ

= b

b d

b c d;

êðàò

>ÄÍÔh = b c d

a b c

b d:

;

Длина этой системы ДНФ равна 7, ранг 18. Все ДНФ из системы Dкрат кратчайшие, но не простые кратчайшие: интервал L не является

максимальным для функций f(a; b; c; d) и g(a; b; c; d), интервал K не максимальный для f(a; b; c; d), E не максимальный для h(a; b; c; d).

Построим еще одну кратчайшую систему ДНФ для F.

d -

H I A

f(a; b; c; d)

g(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

8ÄÍÔf0

= a d _ a b _ b c d _

>ÄÍÔ0

c:>

= a d

c d

b c d

êðàò

>ÄÍÔh0

= a d

a b c

c d:

;

Длина системы Dêðàò0 равна 7, ранг 18. ДНФ0g не является кратчайшей, так как имеет длину 4, а КратДНФg длину 3.

121

Определение. Безызбыточной системой ДНФ (Dáåç) системы булевых функций F = ff1; : : : ; fmg называется система ДНФ, удовлетворяющая условиям:

удаление любой конъюнкции K из любой ДНФ Di приводит к òîìó, ÷òî Di перестает задавать функцию fi(x1; : : : ; xn),

если конъюнкция K входит в ДНФ Di1; : : : ; Dik , то удаление лю- бой буквы из K приводит к тому, что по крайней мере одна из этих

ÄÍÔ Dij , 1 j k, перестает задавать функцию fij (x1; : : : ; xn). Понятно, что система безызбыточных ДНФ будет также и безыз-

быточной системой ДНФ, обратное же не всегда верно.

Пример. Построим безызбыточную систему ДНФ для системы функций из ïðåдыдущего примера.

H I

f(a; b; c; d)

g(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

8ÄÍÔf00

= a d _ a b _ b c d _

>ÄÍÔ00

c:>

= a d

c d

b c d

áåç

>ÄÍÔh00 = a b c

c d

b c d:

;

Интервал L не максимальный ни для одной функции. Однако любое

расширение этого интервала не является допустимым хотя бы для одной из функций, что показано на матрицах Грея. Здесь L2, L3, L4 расширения интервала L по второй, третей и четвертой компонентам.

-L4

f(a; b; c; d)

- L3

g(a; b; c; d)

d c

h(a; b; c; d)

122

Интервал M является максимальным для функции g(a; b; c; d), а зна-

чит, не может быть расширен. Остальные интервалы максимальные для функций, в чьи достаточные множества они включены. Ни один интервал нельзя удалить из достаточного множества любой функции так, чтобы множество осталось достаточным. Поэтому, хотя ни одна ДНФ не является безызбыточной, система Dáåç является безызбыточ-

ной системой ДНФ.

13.3. Минимизация систем булевых функций

Определение. Минимизировать систему булевых функций это значит построить ее кратчайшую систему ДНФ.

Конечно, как и в случае одной булевой функции, возможны и другие постановки задач: построить все кратчайшие системы ДНФ, систему наименьшего ранга и так далее. Кроме того, так как минимизация системы булевых функций более сложна, чем минимизация одной функции, часто на практике строится приближенная кратчайшая система ДНФ, то есть система ДНФ, близкая по длине к кратчайшей.

Кроме того, часто ставится задача построения безызбыточной системы ДНФ. Это связано как с тем, что безызбыточные системы ДНФ часто оказываются близкими по длине к кратчайшим, так и с тем, что схемы, построенные по безызбыточным системам ДНФ, удобны для диагностики.

Как было показано ранее, кратчайшая система ДНФ и система кратчайших ДНФ не являются равнозначными понятиями. Поэтому при минимизации системы булевых функций все функции необходимо рассматривать как единый объект. Как правило, для решения этой задачи модифицируются методы минимизации одной булевой функции.

Рассмотрим метод конкурирующих интервалов в применении к системе булевых функций. Пусть F = ff1; : : : ; fmg система булевых функций. Для ее минимизации в метод конкурирующих интервалов вносятся следующие изменения.

Во-первых, все точки и интервалы сопровождаются обозначениями или номерами функций. Так, запись (1) означает точку функции

f1(x1; : : : ; xn), а запись I(1; 3) интервал I, допустимый для функций f1(x1; : : : ; xn) è f3(x1; : : : ; xn) и включенный в достаточное множество этих функций.

123

Во-вторых, расширение интервала I(j1; : : : ; jk) до точки (i) сопровождается номерами функций (i; j1; : : : ; jk).

В-третьих, интервал I(j1; : : : ; jk) и точка (i) совместимы, если и только если интервал I0(i; j1; : : : ; jk) = [I(j1; : : : ; jk); (i)] допустим

для функций fi(x1; : : : ; xn), fj1(x1; : : : ; xn),: : :, fjk (x1; : : : ; xn).

Пример. Рассмотрим систему неполностью определенных булевых функций F из предыдущих примеров.

c	c		c

d	d	d

f(a; b; c; d)


				-I

g(a; b; c; d)



				-I

b

h(a; b; c; d)

Рассмотрим точку (f) = 1100 и интервал I(g; h) = 111 . Мини-

мальное расширение интервала I(g; h) до точки (f) (то есть интервал I0(f; g; h) = 11 ) не является допустимым для функции

h(a; b; c; d) и, следовательно, не может быть включен в решение. Но если рассмотреть интервал I(g) = 111 и ту же точку (f), то интервал I0(f; g) = [I(g); (f)] = 11 будет допустимым для функций f(a; b; c; d), g(a; b; c; d) и может быть включен в решение для этих функций.

В-четвертых, интервал I(j1; : : : ; jk) при применении правила столбца без единиц расширяется таким образом, чтобы он оставался допустимым для всех функций fj1(x1; : : : ; xn),: : :, fjk (x1; : : : ; xn), номера которых перечислены в скобках.

Остальные понятия и правила алгоритма остаются без изменений. Пример. Применим алгоритм для минимизации той же системы

булевых фуíêöèй. Пронумеруем äëÿ íаглядности точки ôóíêöèé.

	1
			2
	3	4		5
b		6	7
b

f(a; b; c; d)

g(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

124

В матрице совместимости представлен результат многократного применения правила строки без единиц. На этот раз мы для сокращения записи не переписываем матрицу каждый раз после применения какого-либо правила, а вычеркиваем удаляемые строки или столбцы. Применяем правило до тех пор, пока в матрице не появится столбец без единиц.

0000(f) 0111(f) 1100(f) 1001(f) 0101(h) 1000(h)

	1)	0000(f)

	2)	0111(f)	0
	3)	1100(f)	0	0
4)		1101(f)	0	0	1	1	0	0
5)		1110(f)	0	0	1	0	0	0
	6)	1001(f)	0	0	0
7)		1011(f)	0	1	0	1	0	0

8)		0001(g)	1	0	0	1	0	0
9)		0010(g)	1	0	0	0	0	0
10)		0111(g)	0	1	0	0	0	0
11)		1111(g)	0	1	1	1	0	0
12)		1001(g)	0	0	0	1	0	0

13)		0001(h)	0	0	0	1	1	0
	14)	0101(h)	0	0	0	0
15)		1111(h)	0	1	0	1	1	0
	16)	1000(h)	0	0	0	0	0

			1	2	3	4	5	6

Применяем к шестому столбцу матрицы правило столбца без единиц. В результате в решение включается интервал I1 = 101 (h). Здесь и далее на матрицах Грея мы выделяем интервалы из текущего частич- ного решенèÿ è содержащиеся в нèõ òî÷êè.

3 4

g(a; b; c; d)

6 I1

f(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

125

В результате получаем следующую матрицу совместимости. В ней нет строк без единиц, столбцов без единиц и столбцов с одной единицей, поэтому применяем к первому столбцу правило столбца наибольшего ранга. Расширяем интервал 0000(f) до восьмой точки 0001(g), полу-

чаем интервал 000 (f; g) и добавляем его в частичное решение. Пе-

ресчитываем первый столбец и записываем его в матрицу последним. Удаляем из матрицы восьмую строку.

			0000(f)	0111(f)	1100(f)	1001(f)	0101(h)	000 (f; g)
			0000(f)	0111(f)	1100(f)	1001(f)	0101(h)	000 (f; g)
4)		1101(f)	0	0	1	1	0		0
5)		1110(f)	0	0	1	0	0		0
7)		1011(f)	0	1	0	1	0		0

	8)	0001(g)	1	0	0	1	0
		0001(g)	1	0	0	1	0
9)		0010(g)	1	0	0	0	0		0
10)		0111(g)	0	1	0	0	0		0
11)		1111(g)	0	1	1	1	0		0
12)		1001(g)	0	0	0	1	0		0

13)		0001(h)	0	0	0	1	1		0
15)		1111(h)	0	1	0	1	1		0

			1	2	3	4	5		1

Первый столбец теперь не содержит единиц, применяем соответствующее правило. Интервал I2 = 000 (f; g) нельзя расширить, поэтому добавляем его в окончательное решение и удаляем первый столбец из матрицы. Получившаяся матрица совместимости представлена на следующей ñòðàнице. Текущее реøåíèе показано на матðèöàõ Ãðåÿ.

3 4

g(a; b; c; d)

f(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

Затем применяем к девятой строке (точка 0010(g)) правило строки без единиц. В матрице появляется седьмой столбец 0010(g).

126

0111(f) 1100(f) 1001(f) 0101(h) 0010(g)

4)	1101(f)	0	1	1	0	0
5)	1110(f)	0	1	0	0	0
7)	1011(f)	1	0	1	0	0

10)	0111(g)	1	0	0	0	0
11)	1111(g)	1	1	1	0	0
12)	1001(g)	0	0	1	0	0

13)	0001(h)	0	0	1	1	0
15)	1111(h)	1	0	1	1	0

		2	3	4	5	7

Седьмой столбец не содержит единиц, применяем к нему соответствующее правило. Расширяем интервал 0010(g) до I3 = 0 10(g), который включаем в ðåøение. Седьмой стоëáåö удаляем из матрèöû.

- I3

- 5

- 2

3 4

g(a; b; c; d)

f(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

Применяем правило столбца наибольшего ранга ко второму столбцу. Расширяем интервал 0111(f) до десятой точки 0111(g), получаем ин-

тервал 0111(f; g), пересчитываем столбец. Применяем то же правило к третьему столбцу, расширяем интервал 1100(f) до четвертой точки 1101(f), получаем интервал 110 (f), пересчитываем столбец.

		0111(f)	1100(f)	1001(f)	0101(h)	0111(f; g)	110 (f)
4)	1101(f)	0	1	1	0	0
5)	1110(f)	0	1	0	0	0	1
7)	1011(f)	1	0	1	0	0	0

10)	0111(g)	1	0	0	0
11)	1111(g)	1	1	1	0	1	1
12)	1001(g)	0	0	1	0	0	0

13)	0001(h)	0	0	1	1	0	0
15)	1111(h)	1	0	1	1	1	0

		2	3	4	5	2	3

127

Частичное ðåøåние выглядит слеäóþùим образом.

- I3

- 5

- 2

g(a; b; c; d)

f(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

Далее применяем правило столбца наибольшего ранга к четвертому столбцу и расширяем интервал 1001(f) до двенадцатой точки 1001(g),

получаем интервал 1001(f; g). Пересчитываем четвертый столбец. За-

тем применяем это же правило к пятому столбцу и расширяем интервал 0101(h) до тринадцатой точки 0001(h), получаем интервал

0 01(h). Пересчитываем пятый столбец.

1001(f) 0101(h) 0111(f; g) 110 (f) 1001(f; g) 0 01(h)

5)	1110(f)	0	0	0	1	0	0
7)	1011(f)	1	0	0	0	1	0

11)	1111(g)	1	0	1	1	1	0
12)	1001(g)	1	0	0	0

13)	0001(h)	1	1	0	0	0
15)	1111(h)	1	1	1	0	1	0

		4	5	2	3	4	5

Применяем к пятому столбцу правило столбца без единиц. Добавляем в решение интервал I4 = 01(h) и удаляем пятый столбец из

матрицы. Чàñòèчное решение приíèìàåò âèä.

				d	c				d	c
I2				d	I2				d	- I3
					- 2

		7
			5
			5					11
a b	?					a b
	3				- 4
	f(a; b; c; d)						g(a; b; c; d)

		d	c
		d	- 5



	15
b
b

a? ?

I1 I4

h(a; b; c; d)

Применяем ко второму столбцу правило столбца наибольшего ранга. Расширяем интервал 0111(f; g) до одиннадцатой точки 1111(g), полу-

чаем интервал 111(f; g). Пересчитываем второй столбец.

128

		0111(	f; g)	110 (f)	1001(f; g)	111(f; g)
		0111(	f; g)	110 (f)	1001(f; g)	111(f; g)
5)	1110(f)	0		1	0	0
7)	1011(f)	0		0	1	0

11)	1111(g)	1		1	1

15)	1111(h)	1		0	1	1

		2		3	4	2

Применяем к третьему столбцу правило столбца с одной единицей. Расширяем интервал 110 (f) до точки 1110(f) (пятая), получаем ин-

тервал I5 = 11 (f), который является максимальным для функции f(a; b; c; d). Третий столбец теперь не содержит единиц, применяем к

нему соответствующее правило и включаем I5 в решение. Применя- ем правило столбца с одной единицей ко второму столбцу. Расширяем интервал 111(f; g) до точки 1111(h) (пятнадцатая), получаем интер-

âàë 111(f; g; h).

		110	(f)	1001(f; g)	111(	f; g)	11 (f)	111(f; g; h)
5)	1110(f)		1	0	0
7)	1011(f)		0	1	0		0	0

15)	1111(h)		0	1	1		0

			3	4	2		3	2

Второй столбец теперь не содержит единиц, и сопоставленный ему интервал I6 = 111(f; g; h) нельзя расширить так, чтобы он оставался

допустимым для всех функций, включаем I6 в решение.

- I3

- I6

-I5

a b

- 4

f(a; b; c; d)

g(a; b; c; d)

			c
			d
			- I6


b
b

a? ?

I1 I4

h(a; b; c; d)

Применяем к четвертому столбцу правило столбца с одной единицей. Расширяем интервал 1001(f; g) до седьмой точки 1011(f), получаем

интервал 10 1(f; g). Расширяя его так, чтобы он оставался допустимым для f(a; b; c; d) и g(a; b; c; d), получаем интервал I7 = 1 1(f; g), который включаем в решение. Получаем пустую матрицу. Система ДНФ D, задающая систему булевых функций F, построена.

129

f(a; b; c; d)

g(a; b; c; d)

h(a; b; c; d)

8ÄÍÔf

_ a b _ b c d _ a d ;

>ÄÍÔ

a d ;>

c d

b c d

>ÄÍÔh

= a b c

c d

b c d:

;

Длина этой системы 7, ранг 18. Как нетрудно убедиться, система является кратчайшей и безызбыточной.

13.4. Упражнения

Построить кратчайшие системы ДНФ для систем неполностью определенных булевых функций F = ff1; f2; f3g è G = fg1; g2g по матрицам Грея. Минимизировать те же системы, пользуясь методом конкурирующих èíòåрвалов, и сравнитü ïîëученные результаты.

c	c		c

d	d	d

f1(a; b; c; d)

f2(a; b; c; d)

f3(a; b; c; d)

g1(a; b; c; d; e)

g2(a; b; c; d; e)

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2019158.72 Кб3Diagramma_otchet.doc
#
29.05.20153.1 Mб51DIF_calc_2013.pdf
#
29.05.20152.58 Mб46Diplom.docx
#
29.05.20155.95 Mб19Diplom_na_pechat.doc
#
29.05.2015753.61 Кб65DisMathTPU.pdf
#
29.05.2015753.84 Кб63DisMathTPU_new.pdf
#
29.05.20158.69 Mб33dissertatsia.doc
#
25.03.2016419.15 Кб4Dokument_Microsoft_Office_Word_2.PDF
#
29.05.2015118.78 Кб20Dokument_Microsoft_Word (1).doc
#
23.12.201838.93 Кб4Dokument_Microsoft_Word_4.docx
#
23.12.201891.1 Кб3Dokument_Microsoft_Word_5.docx